要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x) g(x)的充要條件是：對於乙個任意的a值，都有f(a) g(a)；或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。
待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定係數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的係數，轉化為方程組來解決，要判斷乙個問題是否用待定係數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表示式，如果具有，就可以用待定係數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函式式、求複數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定係數法求解。
使用待定係數法，它解題的基本步驟是：
第一步，確定所求問題含有待定係數的解析式；
第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定係數的方程；
第三步，解方程組或者消去待定係數，從而使問題得到解決。
如何列出一組含待定係數的方程，主要從以下幾方面著手分析：
1 利用對應係數相等列方程；
2 由恒等的概念用數值代入法列方程；
3 利用定義本身的屬性列方程；
4 利用幾何條件列方程。
比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定係數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的係數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知係數的方程或方程組；最後解所得的方程或方程組求出未知的係數，並把求出的係數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。
ⅰ、再現性題組：
1. 設f(x)＝＋m，f(x)的反函式f (x)＝nx－5，那麼m、n的值依次為_____。
a., －2 b. －， 2 c. , 2 d. －，－2
2. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。
a. 10 b. －10 c. 14 d. －14
3. 在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的係數是_____。
a. －297 b.－252 c. 297 d. 207
4. 函式y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正週期是_____。
5. 與直線l：2x＋3y＋5＝0平行且過點a(1,-4)的直線l』的方程是
6. 與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是
【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f (x)＝2x－2m，比較係數易求，選c；
2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關於係數a、b的方程組，易求得a＋b，選d；
3小題：分析x的係數由c與(－1)c兩項組成，相加後得x的係數，選d；
4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；
5小題：設直線l』方程2x＋3y＋c＝0，點a(1,-4)代入求得c＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。
ⅱ、示範性題組：
例1. 已知函式y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函式式。
【分析】求函式的表示式，實際上就是確定係數m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函式的值域，對分子或分母為二次函式的分式函式的值域易聯想到「判別式法」。
【解】 函式式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈r, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根，
代入兩根得： 解得：或
∴ y＝或者y＝
此題也可由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然後與不等式①比較係數而得：，解出m、n而求得函式式y。
【注】 在所求函式式中有兩個係數m、n需要確定，首先用「判別式法」處理函式值域問題，得到了含引數m、n的關於y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求引數m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入後列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含引數的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函式值域的「判別式法」：
將y視為引數，函式式化成含引數y的關於x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關於引數y的不等式，解出y的範圍就是值域，使用「判別式法」的關鍵是否可以將函式化成乙個一元二次方程。
例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的乙個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。
y b』
x a f o』 f』 a』
b【分析】求橢圓方程，根據所給條件，確定幾何資料a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c後，由已知垂直關係而聯想到勾股定理建立乙個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c的值後列出第二個方程。
【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|bf』|＝a
解得：∴ 所求橢圓方程是：＋＝1
也可有垂直關係推證出等腰rt△bb』f』後，由其性質推證出等腰rt△b』o』f』，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值。
【注】 圓錐曲線中，引數（a、b、c、e、p）的確定，是待定係數法的生動體現；如何確定，要抓住已知條件，將其轉換成表示式。在曲線的平移中，幾何資料（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特徵，列出關於a－c的等式。
一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定係數法，基本步驟是：設方程（或幾何資料）→幾何條件轉換成方程→求解→已知係數代入。
例3. 是否存在常數a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數n都成立？並證明你的結論。 （89年全國高考題）
【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關於a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數學歸納法證明等式對所有自然數n都成立。
【解】假設存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：
,解得，
於是對n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數學歸納法證明對任意自然數n，該等式都成立：
假設對n＝k時等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；
當n＝k＋1時，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，
也就是說，等式對n＝k＋1也成立。
綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。
【注】建立關於待定係數的方程組，在於由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現了方程思想和特殊值法。對於是否存在性問題待定係數時，可以按照先試值、再猜想、最後歸納證明的步驟進行。
本題如果記得兩個特殊數列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得s＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。
例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩餘部分折成乙個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？
【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變數建立目標函式，將實際問題轉化為函式最大值和最小值的研究。
【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。
∴ 盒子容積 v＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。
設v＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式，則
解得：a＝， b＝， x＝3 。
從而v＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。
所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。
【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配係數，可以用「待定係數法」求。本題解答中也可以令v＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的係數，本題也體現了「湊配法」和「函式思想」。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 函式y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值範圍是_____。
a. 2>a>且a≠1 b. 02或02. 方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有乙個公共根，則其餘兩個不同根之和為_____。
a. 1b. －1 c. p＋q d. 無法確定
3. 如果函式y＝sin2x＋a·cos2x的影象關於直線x＝－對稱，那麼a＝_____。
abc. 1d. －1
4. 滿足c＋1·c＋2·c＋…＋n·c<500的最大正整數是_____。
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
5. 無窮等比數列的前n項和為s＝a－, 則所有項的和等於_____。
高中數學解題基本方法待定係數法
三 待定係數法 要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列...
待定係數法 高中數學解題基本方法
要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使...
高中數學解題基本方法之待定係數法
三 待定係數法 要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列...