偏微分方程
課程設計
學號：0683110
姓名：陸莉
指導老師：翟方曼
2010.01
一．題目
用向前差分格式計算如下熱傳導方程的初邊值問題
已知其精確解為
二．理論
作為模型，考慮一維熱傳導方程：
…………（1.1）
其中是正常數，是給定的連續函式。
現在考慮第二類初邊值問題的差分逼近：
初始條件：…………（1.2）
邊值條件：，，………（1.3）
假設和在相應區域光滑，並且在滿足相容條件，使上述問題有惟一充分光滑的解。
1.建立差分格式
（1）.區域剖分
取空間步長和時間步長，其中都是正整數。用兩族平行直線和將矩形域分割成矩形網格，網格節點為。以表示網格內點集合，即位於開矩形的網點集合；表示所有位於閉矩形的網點集合；是網格界點集合。
其次，用表示定義在網點的函式，
（2）.微分方程的離散，建立相應差分格式
將方程在節點離散化，
， …………（1.4）
對充分光滑的解，由taylor展式：
…………（1.5）
…………（1.6）
…………（1.7）
（1.5）移項得：
…………（1.8）
（1.6）（1.7）相加得：
…………（1.9）
將（1.8）（1.9）代入（1.4）得：
…………（1.10）
其中，捨去，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：
， ……（1.11）
其中，，
記則由（1.4
由（1.11
顯然，截斷誤差
（3）.邊界條件
在本題中，，，，，
2.穩定性分析
用傅利葉方法對差分格式進行穩定性分析
以表示網比，將（1.11）改寫成便於計算的形式：
（本題中）
以代入，得
消去，則知增長因子
由，得即
只需解得
所以向前差分格式的穩定性條件是
3．matlab程式
取，，則，滿足穩定性條件
另取，，則，亦滿足穩定性條件
另取，，則，亦滿足穩定性條件
format long
a=2;
l=1;
t=1;
n=10;
m=400;
h=l/n;
to=t/m;
r=(a*to)/h^2;
for j=1:n+1
x(j)=(j-1)*h;
for k=1:m+1
t(k)=(k-1)*to;
u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k));
endendu %求解精確解
for j=1:n+1
x(j)=(j-1)*h;
us(j,1)=exp(x(j));
endfor k=1:m+1
t(k)=(k-1)*to;
us(1,k)=exp(2*t(k));
us(n+1,k)=exp(1+2*t(k));
endfor k=2:m+1
for j=2:n
us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1);
endendus %求解數值解
for k=1:m+1
for j=1:n+1
r(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k));
endendr %計算誤差
rmax=max(max(r)) %求誤差的最大值
圖---精確解與數值解的比較：
x=0:0.1:1;
hold on
plot(x,u(:,m+1),'b');
plot(x,us(:,m+1),'y');
title('t=1，h=1/10，τ=1/400時精確解和數值解的比較')
text(0.05,21,'藍：精確解');
text(0.05,20,'黃：數值解');
hold off
圖---取不同步長時的誤差比較：
x=0:1/10:1;
y=0:1/20:1;
z=0:1/40:1;
hold on
plot(x,r(:,m+1),'b');
hold off
m分別取10，20，40
四．**及圖表
部分結點處的精確解、數值解和誤差絕對值（取，）
部分結點處的精確解、數值解和誤差絕對值（取，）
取不同步長時數值解的最大誤差（）
圖（a）：時精確解和數值解的比較
由此圖可以看出，精確解和數值解幾乎重合。
區域性的放大圖：由此圖可以明顯看出數值解和精確解存在的誤差
圖（b）：，取不同步長時精確解與數值解的誤差比較
藍色： 綠色紅色
由此圖可以看出，步長越小，誤差越小
5．結論
拋物型方程的有限差分法的步驟大致可以歸納如下：
1.對區域進行網格剖分
2.在離散結點建立相應的差分格式
3.處理初邊值條件
4.進行穩定性分析
由本題可以總結出，拋物型方程的有限差分法所得的數值解能夠較好地逼近方程的精確解，且區域剖分得越細，即步長越小，數值解與精確解的誤差就越小，數值解越逼近精確解。
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