本材料是關於線性常差分方程基本知識的筆記，參考了兩個文獻：
1、《差分方程》 【日】 福田武雄著穆鴻基譯上海科學技術出版社 2023年9月第一版
2、《常差分方程》 王聯、王慕秋著新疆大學出版社 2023年2月第一版
目錄第一節差分
第二節和分
第三節對步長及定義域的約定
第四節階乘多項式與差分
第五節 bernoulli多項式與差分
第六節幾個公式,例題
第七節階線性常差分方程的解的結構
第八節 lagrange變易常數法
第九節解階常係數齊次線性方程的特徵根方法
第十節常係數對稱型線性方程的解
第十一節幾種特殊常係數非齊次線性方程的解法
第一節差分
定義1.1：設函式的定義域是，，，，有，定義運算元為
稱是的變化步長，是在處的步長為的一階差分、階差、有限差；，函式稱為上的差分函式，簡稱差分；運算元是步長為的差分運算元。定義為
稱是在處的步長為的一階位移；稱函式是上的位移函式，簡稱位移；運算元是步長為的位移運算元。定義運算元為
稱運算元為恒等運算元。稱函式是上的差商函式，簡稱差商。
約定運算元與運算元的步長相等。
注1.1：
大寫希臘字母、、的小寫形式是、、，其英文單詞形式是delta /`delt/ 、epsilon /ep`sailn/ 、 iota /ai`ut/ 。
若，有，則，有。
定理1.1：運算元、、有以下關係：
①，即。
②，即。
③，即。
定理1.2：運算元、是線性運算元。對，函式與，有以下等式
定義1.2：設，作遞推定義
， ，稱是在處的步長為的階差分；稱是在處的步長為的階位移；稱是步長為的階差分運算元；稱是步長為的階位移運算元。凡階數大於的差分與位移，稱為高階差分與高階位移。
注1.2：
，有。定理1.3：，有
其中，組合係數，．
證明：用數學歸納法。
定義1.3：設二元函式的定義域是，，有，，，記
稱是在處對的步長為的一階偏差分。
定理1.4：對函式與，有以下等式
，其中與不取零值。
證明：參考類似的求導公式的證明。
定理1.5（leibniz法則）：對函式與，有
證明：用數學歸納法。
定義1.4：設函式的定義域是，若，，則稱是上的以為週期的週期函式。
注1.3：
1 設是上的週期函式，對上的任意函式，按定理1.4，有。
2 設與是上的週期函式，，則也是上的週期函式。
定理1.6：設函式的定義域是，是上的週期函式的充分必要條件是，，。
推論1.6.1：設函式的定義域是，，則是上的週期函式的充分必要條件是，是上的常值函式。
定理1.7：對上的函式與，若，，則與只相差上的乙個週期函式。即存在上的週期函式，滿足。
第二節和分
定義2.1：若，上的函式與有以下關係
，或，即，是在上的差商函式，則稱是在上的步長為的和分函式，簡稱和分。
注2.1：
設與是在上的任意兩個和分，按定義，有，按定理1.7，與只相差上的乙個週期函式。所以，設是的乙個和分，是上的任意乙個週期函式，則就代表在上的任意乙個和分。
定義2.2：如上，記，稱是在上的步長為的不定和分。
注2.2：
在文獻1中，作者用符號「」表示和分。在文獻2中，作者用「∑」表示和分。
定理2.1：對函式，，不定和分有以下性質
①， ②設是週期函式，
③定義2.3：設是在上的和分，是上的任意乙個週期函式，則就代表的任意乙個和分，，，，記
稱是在上的步長為的定和分。是定和分下限，是定和分上限。
約定注2.3：
①作為乙個記號，在，，中的不能換成數值，也不能省略。
②按差商與和分的定義，有
，，所以，
可見，定和分是有限求和運算。
③設，≤，函式的定義域是，是的和分，步長，則
可見，有限求和運算是定和分。
第三節對步長及定義域的約定
記是步長等於的差分運算元，在上的差分中作代換，記，有
可見，可以代換。為方便，約定所論差分與位移的步長都等於。
從步長等於的約定。設函式的定義域是，記，，則函式的定義域是，有
可見，的定義域是可以代換的定義域是。為方便，約定所論函式定義域為。
定理3.1：設函式的定義域是，，有
定理3.2：設函式的定義域是，，≤≤，有
定理3.3：設函式的定義域是，，≤≤，≤，有
以上三個定理稱為「離散的泰勒（taylor）公式」，可用數學歸納法證明。
第四節階乘多項式與差分
從第三節的約定。設，≥，有
可見，運算元可以使多項式降次。若是次多項式（≥），則是次多項式，且
定義4.1：，定義
當，記當≥，記
稱這樣定義的，，為階乘冪函式。
定理4.1：設，則
證明：按定義計算。
推理4.1.1：設，，則
例：定義4.2：設，，令
稱為第個二項函式。
注4.1：按定理4.1，有
，≥定義4.3：設，，，……，為常數，且，記
稱為次階乘多項式，它是個次多項式。
注4.2：
，≥定理4.2：設，，則
即係數，
定義4.4：設，，定義符號如下
若＜，則
若＞，則
若≤≤，則
稱為階sterling數。階sterling數至多個。若把看作引數，則就是的函式。按定義4.1，知的值都是整數。
定理4.3：設，，有
證明：比較係數即得結論。
定義4.5：設，，定義符號如下
若＜，則
若＞，則
若≤≤，則
稱為階逆sterling數。階逆sterling數至多個。若把看作引數，則就是的函式。由前述定義易知，的值都是整數。
注4.3：
，≥，其中，，，都是週期函式。
定理4.4：設，，有
證明：比較係數即得結論。
由定義4.4，4.5，定理4.
3，4.4知，只要計算出，，就可以用公式遞推得到任意階sterling數和逆sterling數。易知，由這種遞推關係容易看出，sterling數和逆sterling數都是整數。
定理4.5：，且≥，＜，則
證明：比較係數即得結論。
列舉前5階的sterling數：
所以，，， ，，，
，，，，
，，，，，
列舉前5階的逆sterling數：
所以，，， ，，，
，，，，
，，，，，
第五節 bernoulli多項式與差分
（1）設，是上以為變元的一元次多項式。令，且當≥時有．
（2）設，≥,記,.
若,則.
若＞,則
所以.設為任意常數,則
, ,＞.
(3)在以上(1)與(2)的設定下,考慮以下三個條件
①, ,≥.
②, ,≥.
③, ,≥.
現在證明這三個條件相互等價.
其一, ①③
設①成立.當,＞時,在兩邊求導,得到.而
故, , ,＞,也就是, ,≥.
其二, ②③
設②成立.令,≥,有
,所以.
在兩邊做上的積分,得到
由此知.故, ,≥.
其三, ③①
設③成立.則
, ,≥.
這是個遞推式.已經設定,推知,則.由此用數學歸納法
這就是①.
其四,③②
設③成立.按前述
, ,由此可以遞推地得到, ,≥.
綜合以上分析,可知條件①,②,③相互等價.
在(1)與(2)的設定下,滿足(3)中條件①,②,③中任意乙個的多項式,.稱為bernoulli多項式.它們滿足遞推式
, , ,≥.
前六個bernoulli多項式是
bernoulli多項式在處的值稱為bernoulli數．記,則
, , ,≥.
前十乙個bernoulli數是
用數學歸納法可以證明
,設,≥,≥, ,.因為,≥,所以
按注2.3，有
令, , ,代入上式,得到
令, , ,代入上式,得到
第六節幾個公式,例題
公式設,為週期函式,約定步長.
6.1 , ,
6.2 , ,
6.3 ,參見注4.3.
6.4 ,參見注4.1.
6.5 , , ,
6.6 , , ,
6.7 ,參見定理4.1.
6.8 ,
6.9 ,
6.10 ，＞，
其中,表示函式, ,有公式
例題例1：求不定和分
解:,故.
例2：求定和分
解:按注2.3，令, , ,代入公式中,
這個和式比較複雜.換一種方法,先求的和分,再計算定和分.
例3：求和
解:按公式6.6，
按注2.3，
第七節階線性常差分方程的解的結構
定義7.1：記
(7.1)
也就是其中都是自然數集上的函式.,且.稱關於的函式方程(7.1)為階線性常差分方程,簡稱為階線性方程或者階方程., ,……,稱為方程(7.1)的係數.下一方程
(7.2)
稱為方程(7.1)對應的階齊次線性常差分方程,簡稱階齊次方程.若方程(7.1)的係數都是常數,則稱之為階常係數線性常差分方程,簡稱階常係數方程.
定義7.2：定義運算元如下
其中都是自然數集上的函式.,.稱方程
(7.3)
為階線性常差分方程的標準形式.
由於, ,故方程(7.1)與方程(7.3)是一樣的.
定義7.3：階方程,連同, ,……,這個值稱為該方程的初值問題.
定理7.1：乙個階方程的初值問題的解是唯一的.
證明:按(7.3),，這是個遞推式,由此易知定理成立.
定義7.4:設有上的個函式, ,……, ,將以下矩陣稱為這個函式的casorati矩陣,記為
定理7.2：若函式, ,……,線性相關,則其casorati矩陣的行列式是上的零值函式.即, ,.
常壓鍋爐司爐基本知識
一 什麼是常壓鍋爐？就是鍋爐與大氣相通，執行中鍋爐水位線處的壓力始終與大氣壓力相等故稱常壓。在任何時候，任何情況下鍋爐也不會發生超壓現象，也不會發生鍋爐暴炸事故，因此人們把它也叫做開口無壓熱水鍋爐。注 必須保證大氣連通管的直徑，計算公式為 d 88 d為大氣連通管的直徑 q為鍋爐功率mw。2 燃料 ...
一階線性常係數雙曲性方程的有限差分方法的研究
引言主要討論雙曲性方程及雙曲性方程組的差分方法。從簡單的一屆線性雙曲型方程開始，構造差分格式，分析其穩定性及其他性質，然後推廣到一屆線性雙曲性方程組。雙曲方程與橢圓方程，拋物方程的重要區別，是雙曲方程具有特徵和特徵關係，其解對初值有區域性依賴性質。初值的函式性質 如間斷，弱間斷等 也沿特徵傳播，因而...
LED分bin分類基本知識
人眼對於光的顏色及亮度的解析度非常高，特別是對於顏色的差異和變化非常敏感。圖2 14所示的是人眼對顏色變化的敏感曲線。從圖中可以看出對於不同顏色波長的光人眼的敏感度是不同的。例如，對於波長為585 nm的光，當顏色變化大於1nm時，人眼就可以感覺到。而對於波長為650 nm的紅光，當顏色變化在3nm...