高中數學解題思想方法全部內容

2021-03-04 09:38:37 字數 4376 閱讀 2435

前言2第一章高中數學解題基本方法3

一、 配方法3

二、 換元法7

三、 待定係數法14

四、 定義法19

五、 數學歸納法23

六、 引數法28

七、 反證法32

八、 消去法

九、 分析與綜合法

一十、 特殊與一般法

一十一、 模擬與歸納法

一十二、 觀察與實驗法

第二章高中數學常用的數學思想35

一、 數形結合思想35

二、 分類討論思想41

三、 函式與方程思想47

四、 轉化(化歸)思想54

第三章高考熱點問題和解題策略59

一、 應用問題59

二、 探索性問題65

三、 選擇題解答策略71

四、 填空題解答策略77

附錄一、 高考數學試卷分析

二、 兩套高考模擬試卷

三、 參***

前言美國著名數學教育家波利亞說過,掌握數學就意味著要善於解題。而當我們解題時遇到乙個新問題,總想用熟悉的題型去「套」,這只是滿足於解出來,只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時,才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對於數學思想方法的考查,特別是突出考查能力的試題,其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。

我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題,形成能力,提高數學素質,使自己具有數學頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查:

1 常用數學方法:配方法、換元法、待定係數法、數學歸納法、引數法、消去法等;

2 數學邏輯方法:分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等;

3 數學思維方法:觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、模擬、歸納和演繹等;

4 常用數學思想:函式與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化(化歸)思想等。

數學思想方法與數學基礎知識相比較,它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容,可以用文字和符號來記錄和描述,隨著時間的推移,記憶力的減退,將來可能忘記。而數學思想方法則是一種數學意識,只能夠領會和運用,屬於思維的範疇,用以對數學問題的認識、處理和解決,掌握數學思想方法,不是受用一陣子,而是受用一輩子,即使數學知識忘記了,數學思想方法也還是對你起作用。

數學思想方法中,數學基本方法是數學思想的體現,是數學的行為,具有模式化與可操作性的特徵,可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂,它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得。

可以說,「知識」是基礎,「方法」是手段,「思想」是深化,提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用,數學素質的綜合體現就是「能力」。

為了幫助學生掌握解題的密鑰匙,掌握解題的思想方法,本書先是介紹高考中常用的數學基本方法:配方法、換元法、待定係數法、數學歸納法、引數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、模擬與歸納法、觀察與實驗法,再介紹高考中常用的數學思想:函式與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化(化歸)思想。

最後談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題,並在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節的內容中,先是對方法或者問題進行綜合性的敘述,再以三種題組的形式出現。再現性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現,示範性題組進行詳細的解答和分析,對方法和問題進行示範。鞏固性題組旨在檢查學習的效果,起到鞏固的作用。

每個題組中習題的選取,又盡量綜合到代數、三角、幾何幾個部分重要章節的數學知識。

編者:東昇高中高建彪

第一章高中數學解題基本方法

一、 配方法

配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成「完全平方」)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯絡,從而化繁為簡。何時配方,需要我們適當**,並且合理運用「裂項」與「添項」、「配」與「湊」的技巧,從而完成配方。有時也將其稱為「湊配法」。

最常見的配方是進行恒等變形,使數學式子出現完全平方。它主要適用於:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解,或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,將這個公式靈活運用,可得到各種基本配方形式,如:

a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab;

a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+)+(b);

a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]

a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)-2(ab-bc-ca)=…

結合其它數學知識和性質,相應有另外的一些配方形式,如:

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);

x+=(x+)-2=(x-)+2 ;…… 等等。

ⅰ、再現性題組:

1. 在正項等比數列中,a a+2a a+a a=25,則 a+a=_______。

2. 方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圓的充要條件是_____。

a. 1 c. k∈r d. k=或k=1

3. 已知sinα+cosα=1,則sinα+cosα的值為______。

a. 1b. -1c. 1或-1 d. 0

4. 函式y=log (-2x+5x+3)的單調遞增區間是_____。

abcd. [,3)

5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x,則點p(x,x)在圓x+y=4上,則實數a=_____。

【簡解】 1小題:利用等比數列性質aa=a,將已知等式左邊後配方(a+a)易求。答案是:5。

2小題:配方成圓的標準方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r>0即可,選b。

3小題:已知等式經配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然後求出所求式的平方值,再開方求解。選c。

4小題:配方後得到對稱軸,結合定義域和對數函式及復合函式的單調性求解。選d。

5小題:答案3-。

ⅱ、示範性題組:

例1. 已知長方體的全面積為11,其12條稜的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為_____。

a. 2bc. 5d. 6

【分析】 先轉換為數學表示式:設長方體長寬高分別為x,y,z,則,而欲求對角線長,將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設長方體長寬高分別為x,y,z,由已知「長方體的全面積為11,其12條稜的長度之和為24」而得:。

長方體所求對角線長為:===5

所以選b。

【注】本題解答關鍵是在於將兩個已知和乙個未知轉換為三個數學表示式,觀察和分析三個數學式,容易發現使用配方法將三個數學式進行聯絡,即聯絡了已知和未知,從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2. 設方程x+kx+2=0的兩實根為p、q,若()+()≤7成立,求實數k的取值範圍。

【解】方程x+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得:p+q=-k,pq=2 ,

7, 解得k≤-或k≥。

又 ∵p、q為方程x+kx+2=0的兩實根, ∴ △=k-8≥0即k≥2或k≤-2

綜合起來,k的取值範圍是:-≤k≤-或者≤k≤。

【注】 關於實係數一元二次方程問題,總是先考慮根的判別式「δ」;已知方程有兩根時,可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p+q、pq後,觀察已知不等式,從其結構特徵聯想到先通分後配方,表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對「△」討論,結果將出錯,即使有些題目可能結果相同,去掉對「△」的討論,但解答是不嚴密、不完整的,這一點我們要尤為注意和重視。

例3. 設非零複數a、b滿足a+ab+b=0,求()+()。

【分析】 對已知式可以聯想:變形為()+()+1=0,則=ω (ω為1的立方虛根);或配方為(a+b)=ab 。則代入所求式即得。

【解】由a+ab+b=0變形得:()+()+1=0 ,

設ω=,則ω+ω+1=0,可知ω為1的立方虛根,所以:=,ω==1。

又由a+ab+b=0變形得:(a+b)=ab ,

所以2 。

【注】 本題通過配方,簡化了所求的表示式;巧用1的立方虛根,活用ω的性質,計算表示式中的高次冪。一系列的變換過程,有較大的靈活性,要求我們善於聯想和展開。

【另解】由a+ab+b=0變形得:()+()+1=0 ,解出=後,化成三角形式,代入所求表示式的變形式()+()後,完成後面的運算。此方法用於只是未聯想到ω時進行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時,還可由a+ab+b=0解出:a=b,直接代入所求表示式,進行分式化簡後,化成複數的三角形式,利用棣莫佛定理完成最後的計算。

ⅲ、鞏固性題組:

1. 函式y=(x-a)+(x-b) (a、b為常數)的最小值為_____。

a. 8 b. c. d.最小值不存在

2. α、β是方程x-2ax+a+6=0的兩實根,則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。

a. - b. 8 c. 18 d.不存在

3. 已知x、y∈r,且滿足x+3y-1=0,則函式t=2+8有_____。

高中數學解題思想方法全部內容

目錄前言2第一章高中數學解題基本方法3 一 配方法3 二 換元法7 三 待定係數法14 四 定義法19 五 數學歸納法23 六 引數法28 七 反證法32 八 消去法 九 分析與綜合法 一十 特殊與一般法 一十一 模擬與歸納法 一十二 觀察與實驗法 第二章高中數學常用的數學思想35 一 數形結合思想...

高中數學解題思想方法全部內容

第一章高中數學解題基本方法 一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧,通過配方找到已知和未知的聯絡,從而化繁為簡。何時配方,需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧,從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形,使數學式子出現完...

高中數學解題的思想方法

美國著名數學教育家波利亞說過,掌握數學就意味著要善於解題。而當我們解題時遇到乙個新問題,總想用熟悉的題型去 套 這只是滿足於解出來,只有對數學思想 數學方法理解透徹及融會貫通時,才能提出新看法 巧解法。高考試題十分重視對於數學思想方法的考查,特別是突出考查能力的試題,其解答過程都蘊含著重要的數學思想...