2．方程的思想，就是分析數學問題中變數間的等量關係，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用於指導解題就是善於利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關係.
3．(1) 函式和方程是密切相關的，對於函式y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函式式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函式問題（例如求反函式，求函式的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函式問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函式y＝f(x)的零點。
(2) 函式與不等式也可以相互轉化，對於函式y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助於函式影象與性質解決有關問題，而研究函式的性質，也離不開解不等式。
(3) 數列的通項或前n項和是自變數為正整數的函式，用函式的觀點處理數列問題十分重要。
(4) 函式f(x)＝（n∈n*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函式用賦值法和比較係數法可以解決很多二項式定理的問題。
(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關係問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函式的有關理論。
(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函式表示式的方法加以解決。
一，引數與變數分離建構函式關係：
例1. 設a>0，a≠1，試求方程log (x－ak)＝log (x－a)有實數解的k的範圍。(89年全國高考)
【分析】由換底公式進行換底後出現同底，再進行等價轉化為方程組，分離引數後分析式子特點，從而選用三角換元法，用三角函式的值域求解。
【解】 將原方程化為：log (x－ak)＝log， 等價於 （a>0,a≠1）
∴ k＝－ ( ||>1 ）,
設＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0,)，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
當θ∈(－,0)時，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；
當θ∈(0,)時，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0綜上所述，k的取值範圍是：k<－1或0y c
c-aay=x-ak
【思想】 求引數的範圍，分離引數後變成函式值域的問題，觀察所求函式式，引入新的變數，轉化為三角函式的值域問題，在進行三角換元時，要注意新的變數的範圍。一般地，此種思路可以解決有關不等式、方程、最大值和最小值、引數範圍之類的問題。本題還用到了分離引數法、三角換元法、等價轉化思想等數學思想方法。
另一種解題思路是採取「數形結合法」： 將原方程化為：log (x－ak)＝log，等價於x－ak＝(x－ak>0)，設曲線c：
y＝x－ak，曲線c：y＝(y>0)，如圖所示。
由圖可知，當－ak>a或－a<－ak<0時曲線c與c有交點，即方程有實解。所以k的取值範圍是：k<－1或0還有一種思路是直接解出方程的根，然後對方程的根進行討論，具體過程是：
原方程等價變形為後，解得：，所以》ak，即－k>0，通分得<0，解得k<－1或0二，主，參換位運用函式思想
例2. 設不等式2x－1>m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立。求x的取值範圍。
【分析】 此問題由於常見的思維定勢，易把它看成關於x的不等式討論。然而，若變換乙個角度以m為變數，即關於m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恆成立的問題。對此的研究，設f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉化為求一次函式（或常數函式）f(m)的值在[-2,2]內恒為負值時引數x應該滿足的條件。
【解】問題可變成關於m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恆成立，設f(m)＝(x－1)m－(2x－1),
則解得x∈（,）
【思想】 本題的關鍵是變換角度，以引數m作為自變數而建構函式式，不等式問題變成函式在閉區間上的值域問題。本題有別於關於x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關於x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恆成立時求m的範圍。
一般地，在乙個含有多個變數的數學問題中，確定合適的變數和引數，從而揭示函式關係，使問題更明朗化。或者含有引數的函式中，將函式自變數作為引數，而引數作為函式，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關問題。
例2. 設，且，，求a＋b的值。
解析：由已知兩式結構的相似性，聯想到相應函式
令，則是奇函式，且是增函式。這樣，已知是
，，得，則有從而，所以。
評注：本例由已知式建構函式，再巧用奇偶性和單調性，解法奇妙。選取變元，建構函式關係來解決數學問題，這是運用函式思想解題的較高層次，只有平時多加訓練並注意積累，才能做到運用自如。
三 ，以函式視角審題
例3. 設等差數列的前n項的和為s，已知a＝12，s>0，s<0 。
①.求公差d的取值範圍； ②.指出s、s、…、s中哪乙個值最大，並說明理由。(92年全國高考)
【分析】 ①問利用公式a與s建立不等式，容易求解d的範圍；②問利用s是n的二次函式，將s中哪乙個值最大，變成求二次函式中n為何值時s取最大值的函式最值問題。
【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
s＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
s＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－ ② s＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[ (5－)]
因為d<0，故[n－(5－)]最小時，s最大。由－【思想】 數列的通項公式及前n項和公式實質上是定義在自然數集上的函式，因此可利用函式思想來分析或用函式方法來解決數列問題。也可以利用方程的思想，設出未知的量，建立等式關係即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。
由次可見，利用函式與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結合，發展了學生思維品質的深刻性、獨創性。
本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由s＝13a<0得a<0，由s＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在s、s、…、s中，s的值最大。
四，幾何問題的函式思想
例4. 如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直於圓o所在平面，c是圓周上任一點，設∠bac＝θ，pa＝ab=2r，求異面直線pb和ac的距離。
【分析】 異面直線pb和ac的距離可看成求直線pb上任意一點到ac的距離的最小值，從而設定變數，建立目標函式而求函式最小值。
p m
a h b
d c
【解】 在pb上任取一點m，作md⊥ac於d，mh⊥ab於h，
設mh＝x，則mh⊥平面abc，ac⊥hd 。
∴md＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
即當x＝時，md取最小值為兩異面直線的距離。
【思想】 本題巧在將立體幾何中「異面直線的距離」變成「求異面直線上兩點之間距離的最小值」，並設立合適的變數將問題變成代數中的「函式問題」。一般地，對於求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉化成數學語言後，再建立數學模型和函式關係式，然後利用函式性質、重要不等式和有關知識進行解答。比如再現性題組第8題就是典型的例子。
五，函式關係中的方程思想
例5. 已知△abc三內角a、b、c的大小成等差數列，且tga·tgc＝2＋，又知頂點c的對邊c上的高等於4,求△abc的三邊a、b、c及三內角。
【分析】已知了乙個積式，考慮能否由其它已知得到乙個和式，再用方程思想求解。
【解】 由a、b、c成等差數列，可得b＝60°；
由△abc中tga＋tgb＋tgc＝tga·tgb·tgc，得
tga＋tgc＝tgb(tga·tgc－1)＝(1＋)
設tga、tgc是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋
設a由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
【思想】本題的解答關鍵是利用「△abc中tga＋tgb＋tgc＝tga·tgb·tgc」這一條性質得到tga＋tgc，從而設立方程求出tga和tgc的值，使問題得到解決。
六，二次方程中的判別式構造
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數列。
【分析】 觀察題設，發現正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此聯想到構造乙個一元二次方程進行求解。
【證明】 當x＝y時，可得x＝z， ∴x、y、z成等差數列；
當x≠y時，設方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，並易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差數列
【思想】一般地，題設條件中如果已經具備或經過變形整理後具備了「x＋x＝a、x·x＝b」的形式，則可以利用根與係數的關係構造方程；如果具備b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判別式構造一元二次方程。這種方法使得非方程問題用方程思想來解決，體現了一定的技巧性，也是解題基本方法中的一種「構造法」。
例7. △abc中，求證：cosa·cosb·cosc≤。
【分析】考慮首先使用三角公式進行變形，結合三角形中有關的性質和定理，主要是運用「三角形的內角和為180°」。變形後再通過觀察式子的特點而選擇和發現最合適的方法解決。
高中數學解題的思想方法
美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善於解題。而當我們解題時遇到乙個新問題，總想用熟悉的題型去 套 這只是滿足於解出來，只有對數學思想 數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法 巧解法。高考試題十分重視對於數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想...
高中數學解題思想方法總結
第一章高中數學解題基本方法 一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完...
高中數學思想方法之「分類討論思想」
a.b.c.d.2.若，且，則實數中的取值範圍是 ab.cd.3 已知集合,若，則實數的取值的集合是 abc.d.4.一條直線過點 5，2 且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為 ab.c.d.5.若 a.1bc.d.不能確定 6.函式的圖象與軸的交點至少有乙個在原點的右側，則實數的取值範圍為 a...