由遞推數列求通項
數列是高中數學的重要內容，是歷年高考考查的重點.特別是近年高考中，遞推數列問題頻頻出現，成為高考命題中新的熱點.下面介紹幾種由遞推數列求通項的常用方法，供同學們參考.
一、累加法
例１（高考廣東卷試題）設平面內有n條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數，則 ；
當時， （用表示）．
解析：，每增加一條直線，交點增加的個數等於原來直線的條數，所以，，，．
累加，得，
所以．點評：形如的遞推數列適用此法求通項．
二、累乘法
例2 設是首項為1的正項數列，且滿足，則它的通項公式 ．
解析：由，得．
由，得，
，即．所以，．
將以上個式子累乘，得．
因為，所以．
點評：形如的遞推數列求通項適用此法．
三、待定係數法
例3 某城市2023年末汽車保有量為30萬輛，預計此後每年報廢上一年末汽車保有量的，並且每年新增汽車數均為萬輛．求年後汽車的保有量．
解析：從2023年起，該市每年末汽車保有量依次記為（單位：萬輛），則可以得到數列．
依題意，當時，． ①
設，即． ②
①，②比較，得，故．
則數列是首項為，公比為0.94的等比數列．
所以，即．
點評：形如的遞推數列求通項，適用此法．一般步驟是：令，即，與已知遞推數列比較得出，於是．從而轉化為是公比為的等比數列再求解．
四、整體代入法
對某些遞推數列問題，如果能透過其區域性從整體著手，利用整體代入，往往能收到事半功倍之效．
例4 在數列中，為其前項和，若，，
並且，試判斷是不是等比數列？
解析：將已知等式重新組合，得，即，
，． （）
當時，，因此（）式對，且成立，
是等比數列．
點評：從的整體著眼，將和整體代入，解題過程則十分簡潔、明快．
五、歸納遞推法
例5 （2023年高考湖南卷試題）已知數列滿足，，則等於（ ）
ａ．0解析：令，則；
令，則；
令，則．
由此發現，可猜想此數列具有週期性，
．故選ｂ．
點評：由及遞推關係先求出前幾項，再歸納、猜想出，這一方法比較適用於選擇、填空題．對於解答題，猜想出後，還應進一步證明（比如用數學歸納法）．
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