求遞推數列通項公式的十種策略例析
遞推數列的題型多樣，求遞推數列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決，亦可採用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數學歸納法加以證明，因而求遞推數列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容。筆者試給出求遞推數列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定係數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法。
仔細辨析遞推關係式的特徵，準確選擇恰當的方法，是迅速求出通項公式的關鍵。
一、利用公式法求通項公式
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，
故數列是以為首，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、利用累加法求通項公式
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得
則所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則所以
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，
故因此，
則評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出+…+，即得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
三、利用累乘法求通項公式
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，
則所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2023年全國15題）已知數列滿足
，則的通項
解：因為 ①
所以 ②
所以②式－①式得則則
所以 ③
由，取n=2得，則，又知，則，代入③得
。評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為（n≥2），進而求出，從而可得當n≥2時的表示式，最後再求出數列的通項公式。
四、利用待定係數法求通項公式
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，
得 ⑤
由≠0及⑤式，得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式，得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
則得方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
五、利用對數變換法求通項公式
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式，得，兩邊消去並整理，得，則
，故代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
六、利用迭代法求通項公式
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式，即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而
七、利用數學歸納法求通項公式
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當n=1時，，所以等式成立。
（2）假設當n=k時等式成立，即，則當時，
由此可知，當n=k+1時等式也成立。
根據（1）（2）可知，等式對任何
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最後再用數學歸納法加以證明。
八、利用換元法求通項公式
例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則+3，即，得。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關係式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
九、利用不動點法求通項公式
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的兩個不動點。因為。，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則x=1是函式的不動點。
因為，所以
，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數列為等差數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
十、利用特徵根法求通項公式
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：的相應特徵方程為，解之求特徵根是，所以。
由初始值，得方程組
求得從而。
評注：本題解題的關鍵是先求出特徵方程的根。再由初始值確定出，從而可得數列的通項公式。
3.3遞推數列
一、基本知識簡述
1．有關概念：我們在研究數列時，如果任一項an與它的前一項（或幾項）間的關係可以用乙個公式來表示，則此公式就稱為數列的遞推公式。通過遞推公式給出的數列，一般我們也稱之為遞推數列。
主要有以下幾種方法：
（1） 構造法：通過構造特殊的數列（一般為等差數列或等列），利用特殊數列的通項求遞推數列的通項.
（2） 迭代法：將遞推式適當變形後，用下標較小的項代替某些下標較大的項，在一般項和初始之間建立某種聯絡，從而求出通項.
（3） 代換法：包括代數代換、三角代換等
（4） 待定係數法：先設定通項的基本形式，再根據題設條件求出待定的係數。
3.思想策略：構造新數列的思想。
4.常見型別：
型別ⅰ：（一階遞迴）
型別ii:分式線性遞推數列:
二、例題：
例1：，，求通項
分析：構造輔助數列，，則
求通項過程中，多次利用遞推的思想方法以及把一般數列轉化為等差、等比數列去討論，從而求出了通項公式。
[一般形式] 已知，，其中p,q,a為常數，求通項
[同類變式]已知數列滿足，且，求通項
分析：（待定係數），構造數列使其為等比數列，
即，解得
求得[歸納]：
型別ⅰ：（一階遞迴）
其特例為：
（1）時,
利用累加法，將， +,+…,各式相加，得 + (n2)
(2)時,;利用累乘法,
（3）時,
解題方法：利用待定係數法構造類似於「等比數列」的新數列
法1：(常數變易法) 設則，從而
亦即數列是以為首項，公比為p的等比數列，
從而可得：，
法2：利用成等比數列求出，再利用迭代或迭另法求出
法3：由，則可得
,從而又可得
即（4）時,
兩邊同除以
例2：數列的前n項和為，且，＝，求數列的通項公式.
例3：數列中，且，，求數列的通項公式.
[提示]
[歸納]：型別ii:分式線性遞推數列:
練習：1.已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
分析：由於和中的項都和中的項有關，中又有s=4a+2，可由s-s作切入點探索解題的途徑．
解：(1)由s=4a，s=4a+2，兩式相減，得s-s=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關係是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知s=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，數列是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2．
當n≥2時，s=4a+2=2 (3n-4)+2；當n=1時，s=a=1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為s=2 (3n-4)+2．
說明：1．本例主要複習用等差、等比數列的定義證明乙個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在於由條件得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全域性，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在後面求解的過程中適時應用．
練習：2.設二次方程x-x+1=0(n∈n)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
(1)試用表示a；
例9．數列中，且滿足
⑴求數列的通項公式；
⑵設，求；
⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，
由題意得，.
（2）若，
時， 故
（3）若對任意成立，即對任意成立，
的最小值是， 的最大整數值是7。
即存在最大整數使對任意，均有
說明：本例複習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式
構建新數列巧解遞推數列競賽題
遞推數列是國內外數學競賽命題的「熱點」之一，由於題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構建新數列的統一方法解答此類問題，基本思路是根據題設提供的資訊，構建新的數列，建立新數列與原數列對應項之間的關係，然後通過研究新數列達到問題解決之目的。其中，怎樣構造新數列是答題關鍵。
1 求通項
求通項是遞推數列競賽題的常見題型，這類問題可通過構建新數列進行代換，使遞推關係式簡化，這樣就把原數列變形轉化為等差數列、等比數列和線性數列等容易處理的數列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。
例1、數列中，，。求。
（2023年第22屆imo預選題）
高中數學解題方法談遞推數列求通項
由遞推數列求通項 數列是高中數學的重要內容，是歷年高考考查的重點.特別是近年高考中，遞推數列問題頻頻出現，成為高考命題中新的熱點.下面介紹幾種由遞推數列求通項的常用方法，供同學們參考.一 累加法 例 高考廣東卷試題 設平面內有n條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點 若用表示這...
常見遞推數列求通項公式方法
遞推數列通項求解方法舉隅 型別一 思路1 遞推法 思路2 構造法 設，即得，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。例1 已知數列滿足且，求數列的通項公式。解 方法1 遞推法 方法2 構造法 設，即，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。型別二 思路1 遞推法 思路2 疊加法 依次類推有 將各...
遞推數列求通項公式的典型方法
1 an 1 an f n 型 累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 1 a1 例1 已知數列 an 滿足a1 1,an 1 an 2n n n 求an 解 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 21...