求數列通項公式的方法
一、公式法
例1 已知數列滿足,,求數列的通項公式。
解:兩邊除以,得,則,故數列是以為首項,以為公差的等差數列,由等差數列的通項公式,得,所以數列的通項公式為。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,說明數列是等差數列,再直接利用等差數列的通項公式求出,進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由得則
所以數列的通項公式為。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由得則
所以評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:兩邊除以,得,
則,故因此,
則評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式,最後再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:因為,所以,則,故
所以數列的通項公式為
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例6已知數列滿足,求的通項公式。
解:因為 ①
所以 ②
用②式-①式得則故
所以 ③
由,,則,又知,則,代入③得。
所以,的通項公式為
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,從而可得當的表示式,最後再求出數列的通項公式。
四、待定係數法
例7 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ④
將代入④式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入④式得 ⑤
由及⑤式得,則,則數列是以為首項,以2為公比的等比數列,則,故。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ⑥
將代入⑥式,得
整理得。
令,則,代入⑥式得
⑦由及⑦式,
得,則,
故數列是以為首項,以3為公比的等比數列,因此,則。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ⑧
將代入⑧式,得
,則等式兩邊消去,得,
解方程組,則,代入⑧式,得
⑨由及⑨式,得
則,故數列為以為首項,以2為公比的等比數列,因此,則。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足,,求數列的通項公式。
解:因為,所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式,得,兩邊消去並整理,得,則
,故代入式,得
由及式,
得,則,
所以數列是以為首項,以5為公比的等比數列,則,因此
則。評注:本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:因為,所以
又,所以數列的通項公式為。
評注:本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得,即,再由累乘法可推知,從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由及,得
由此可猜測,往下用數學歸納法證明這個結論。
(1)當時,,所以等式成立。
(2)假設當時等式成立,即,則當時,
由此可知,當時等式也成立。
根據(1),(2)可知,等式對任何都成立。
評注:本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項,進而猜出數列的通項公式,最後再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,則
故,代入得
即因為,故
則,即,
可化為,
所以是以為首項,以為公比的等比數列,因此,則,即,得
。評注:本題解題的關鍵是通過將的換元為,使得所給遞推關係式轉化形式,從而可知數列為等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
常見遞推數列求通項公式方法
遞推數列通項求解方法舉隅 型別一 思路1 遞推法 思路2 構造法 設,即得,數列是以為首項 為公比的等比數列,則,即。例1 已知數列滿足且,求數列的通項公式。解 方法1 遞推法 方法2 構造法 設,即,數列是以為首項 為公比的等比數列,則,即。型別二 思路1 遞推法 思路2 疊加法 依次類推有 將各...
遞推數列求通項公式的典型方法
1 an 1 an f n 型 累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 1 a1 例1 已知數列 an 滿足a1 1,an 1 an 2n n n 求an 解 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 21...
由遞推公式求通項公式的方法
已知數列的遞推公式,求取其通項公式是數列中一類常見的題型,這類題型如果單純的看某乙個具體的題目,它的求解方法靈活是靈活多變的,構造的技巧性也很強,但是此類題目也有很強的規律性,存在著解決問題的通法,本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結,方便於學生學習和老師的教學,不涉及具體某一題目的獨...