遞推公式是給出數列的基本方式之一，在近幾年高考題中佔著不小的比重。2023年高考數學19份理科試卷，共19道數列部分的解答題，其中有17道涉及遞推數列，（福建卷理科有兩道題涉及數列問題，江蘇卷、江西卷中數列題不涉及遞推），說每卷都有數列問題，數列必出遞推也不為過。不能不感受到高考數學試題中「遞推」之風的強勁。
為此本文主要以2023年試題為例重點研究由遞推關係求數列通公式的型別與求解策略。
一、遞推關係形如：的數列
利用迭加或迭代法得：，（）
例1（08天津文20）在數列中，，，且（）．
（ⅰ）設（），證明是等比數列；高考資源網
（ⅱ）求數列的通項公式；（ⅲ）略
（ⅰ）證明：由題設（），得
，即，．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（ⅱ）解法：由（ⅰ），，
，（）．
所以當時， 上式對顯然成立．
二、遞推關係形如：的數列
利用迭乘或迭代法可得：，（）
例2 （2008天津理22）在數列與中，，數列的前項和滿足,為與的等比中項，.
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求數列與的通項公式；
解：（ⅰ）易得，．
（ⅱ）由題設 ①
（）時 ②
①式減去②式，整理得， 即，所以
時，此式對也成立．
由題設有，所以，即，．
令，則，即．由得，．所以，即，．
三、遞推關係形如：（p,q為常數且，）的數列（線性遞推關係）
利用不動點求出的根，遞推關係可化為，利用等比數列求出的表示式，進而求出
例3（2008安徽文21）設數列滿足其中為實數，且
（ⅰ）求數列的通項公式
解 ：當時，是首項為，公比為的等比數列。
，即。當時，仍滿足上式。
數列的通項公式為 。
四、遞推關係形如：（,為常數且，）的數列
令與比較解出係數x，y構造等比數列
例4（08湖北理21）已知數列和滿足
,其中為實數，為正整數，求數列、的通項公式（稍加改編）
解： ① 令整理後與①式比較對應項係數得
, ,
五、遞推關係形如：的數列（為常數且）
常化為，利用第三種型別求出後解出；
例5 ．（2008四川理20） 設數列的前項和為，已知
（ⅰ）證明：當時，是等比數列；
（ⅱ）求的通項公式
解：由題意知，且
兩式相減得
即 ①
（ⅰ）略
（ⅱ）當時，由（ⅰ）知，即
當時，由①得
因此得六、遞推關係形如：（為常數且）的數列
可化為=求出的表示式，再求
例6．（2023年山東理19）將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
……記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（ⅰ）證明數列成等差數列，並求數列的通項公式；
解：（ⅰ）證明：由已知，當時，，又，
所以，又．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．
由上可知，．
所以當時，．因此
七、遞推關係形如：或的數列
可採用取倒數方法轉化成為形式利用前面的第三類方法解決。
例7 （2023年高考陝西理22）已知數列的首項，，．
（ⅰ）求的通項公式；
解：（ⅰ），，，
又，是以為首項，為公比的等比數列．
，．八、sn法求與前n項和sn有關的數列通項時，通常用公式作為橋梁，將sn轉化為的關係式求或將轉化為sn的關係式先求sn進而求得。
例8、（2023年全國ⅱ20）設數列的前項和為．已知，，．
（ⅰ）設，求數列的通項公式；
解：（ⅰ）依題意，，即，
由此得．因此，所求通項公式為，．
九、遞推關係形如型（p,q為常數）
待定糸數法設構造等比數列
例5．數列中，且，求.
由遞推公式求通項公式的方法
已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某乙個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便於學生學習和老師的教學，不涉及具體某一題目的獨...
由遞推公式求數列通項的方法
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遞推數列求通項公式的典型方法
1 an 1 an f n 型 累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 1 a1 例1 已知數列 an 滿足a1 1,an 1 an 2n n n 求an 解 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 21...