已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某乙個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便於學生學習和老師的教學，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧。
一、型數列，（其中不是常值函式)
此類數列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項變形為，從而就有
將上述個式子累加，變成，進而求解。
例1. 在數列中,
解：依題意有
逐項累加有，從而。
注：在運用累加法時,要特別注意項數,計算時項數容易出錯.
變式練習：已知滿足, ,求的通項公式。
二、型數列，（其中不是常值函式)
此類數列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項變形為，從而就有
將上述個式子累乘，變成，進而求解。
例2. 已知數列中，求數列的通項公式。
解：當時，將這個式子累乘，得到，從而，當時，，所以。
注：在運用累乘法時,還是要特別注意項數,計算時項數容易出錯.
變式練習：在數列中, >0, ,求.
提示：依題意分解因式可得，而》0,所以，即。
三、型數列
此類數列解決的辦法是將其構造成乙個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解，構造的辦法有兩種，一是待定係數法構造，設，展開整理，比較係數有，所以，所以是等比數列，公比為，首項為。二是用作差法直接構造，,
，兩式相減有，所以是公比為的等比數列。
例3. 在數列中，，當時，有，求的通項公式。
解法1：設，即有
對比，得，於是得，即
所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列
則。解法2：由已知遞推式，得，
上述兩式相減，得，即
因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。
所以，即，
所以。變式練習：已知數列滿足求數列的通項公式.
注：根據題設特徵恰當地構造輔助數列,利用基本數列可簡捷地求出通項公式.
四、型數列（p為常數）
此類數列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.
例4已知數列滿足,求.
解:將已知遞推式兩邊同除以得,設,故有，,從而.
注：通過變形,構造輔助數列,轉化為基本數列的問題,是我們求解陌生的遞推關係式的常用方法.
若為的一次函式,則加上關於的一次函式構成乙個等比數列; 若為的二次函式, 則加上關於的二次函式構成乙個等比數列.這時我們用待定係數法來求解.
例5．已知數列滿足
解:作,則,代入已知遞推式中得:.
令這時且
顯然, ,所以.
注：通過引入一些待定係數來轉化命題結構,經過變形和比較,把問題轉化成基本數列,從而使問題得以解決.
變式練習：（1）已知滿足，求。
（2）已知數列，表示其前項和，若滿足，求數列
的通項公式。
提示：（2）中利用，把已知條件轉化成遞推式。
五、型數列（為非零常數）
這種型別的解法是將式子兩邊同時取倒數,把數列的倒數看成是乙個新數列,便可順利地轉化為型數列。
例6．已知數列滿足,求.
解:兩邊取倒數得:,所以，故有。
變式練習：數列中，，求的通項。
六、型數列（為常數）
這種型別的做法是用待定糸數法設構造等比數列。
例7．數列中，且，求.
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常見遞推數列求通項公式方法
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