直線的方向向量與平面的法向量
（學生版）
教學目標：理解直線的方向向量和平面的法向量；會用待定係數法求平面的法向量
教學重點：直線的方向向量和平面法向量的求法
教學難點：平面法向量的求法
教學過程：
一、 情境引入
在平面向量中，我們借助向量研究了平面內兩條直線平行、垂直等位置關係。如何用向量刻畫空間的兩條直線、直線和平面、平面和平面的位置關係？
二、 概念講解
1．直線的方向向量：把直線上的向量（）以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量
2．平面的法向量
如果表示非零向量的有向線段所在直線垂直於平面，那麼稱向量垂直於平面，記作。此時，我們把向量叫做平面的法向量。
乙個平面的法向量有個，過乙個定點作平面的法向量有個
注意：（1）法向量一定是非零向量;
（2）乙個平面的所有法向量都互相平行;
（3）向量是平面的法向量，向量與平面α平行或在平面α內，則有
三、 空間直線、平面間的平行、垂直等位置關係的向量表示
設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則
1.直線與直線平行：
2.直線與直線垂直：
3.直線與平面平行：
4.直線與平面垂直：
5.平面與平面平行：
6.平面與平面垂直：
四、 數學應用
例1 ：在正方體abcd—abcd中，求證：是平面acd的法向量。
變式訓練：在正方體abcd—abcd中，求平面acd的乙個法向量。
小結:求平面法向量的步驟： （1）設平面的乙個法向量為；
（2）找出平面內不共線的兩個向量；
（3）列方程組； （4）解方程組，取其中乙個解，得平面的法向量。
練習：在空間直角座標系中,已知, ,求平面abc的乙個法向量.
例2： 如圖，已知矩形abcd和矩形adef所在平面互相垂直，點m，n分別在對角線bd，ae上，且bm=bd，an=ae。求證：mn//平面cde
例3：已知正方體中，分別為，的中點，
求證：平面
例4： 如圖，在四稜錐中，底面是正方形，側稜平面，，是中點，作交於。
求證：（1）平面 （2）平面
例5：設動點p在稜長為1的正方體abcd—a1b1c1d1的體對角線bd1上，記，當∠apc為鈍角時，求的取值範圍
課後作業班級______ 學號______ 姓名
1.直線的方向向量分別是，直線的位置關係是（ ）
a、平行b、垂直c、相交但不垂直d、重合
2.的法向量分別是，則平面的位置關係是（ ）
a、平行b、垂直c、相交但不垂直d、以上都不對
3.直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關係是
4.,求平面abc的法向量。
5.如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab⊥bc，ab＝bc＝2，bb1＝1，e為bb1的中點，
求證：平面aec1⊥平面aa1c1c．
6.如圖，在正方體中，、分別是，的中點
（1）求證2）求證：
（3）稜上是否存在點，使平面，若存在，確定的位置，若不存在，說明理由
7.在四稜錐中，底面為正方形，側稜垂直於，,是的中點，做於點，證明：（1）平面；（2）平面
8.是一幾何體的直觀圖、主檢視、俯檢視、左檢視.
若為的中點，求證：面
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