§3.2立體幾何中的向量方法（5）
課題：空間的角的計算（2）
教學目標：
能用向量方法解決二面角的計算問題
教學重點：二面角的計算
教學難點：二面角的計算
教學過程
一、創設情景
1、二面角的定義及求解方法
2、平面的法向量的定義
二、新課講授
利用向量求二面角的大小。
方法一：轉化為分別是在二面角的兩個半平面內且與稜都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關注兩個向量的方向）
如圖：二面角α-l-β的大小為θ，
a，b∈l，acα，bdβ, ac⊥l，bd⊥l
則θ=<, >=<, >
方法二：先求出二面角乙個麵內一點到另乙個面的距離及到稜的距離，然後通過解直角三角形求角。
如圖：已知二面角α-l-β，在α內取一點p，
過p作po⊥β，及pa⊥l,連ao，
則ao⊥l成立，∠pao就是二面角的平面角
用向量可求出|pa|及|po|，然後解三角形pao
求出∠pao。
方法三：轉化為求二面角的兩個半平面的法向量夾角的補角。
如圖（1）p為二面角α-l-β內一點，作pa⊥α，
pb⊥β，則∠apb與二面角的平面角互補。
三、典例分析
例3 （課本例2）如圖3.2-4，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，從，到直線（庫底與水壩的交線）的距離和分別為和，的長為，的長為，求庫底與水壩所成二面角的余弦值．
分析：所求二面角的平面角就是圖3.2-4中直線，所成的角或它的補角．因此，我們首先根據題設，用向量表示線段和的方向，然後利用向量的數量積求出這個角．
解：如圖3.2-4，，，，
化為向量問題
根據向量的加法法則，
進行向量運算
於是，得
設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成二面角．
因此，，所以
回到圖形問題
庫底與水壩所成二面角的余弦值為
例4 在正方體中,求二面角的大小。
解：設正方體稜長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示座標系d-xyz
（法一）,，
（法二）求出平面與平面的法向量
， 例5 已知e,f分別是正方體的稜bc和cd的中點，求：
（1）a1d與ef所成角的大小；
（2）a1f與平面b1eb所成角的大小；
（3）二面角的大小。
解：設正方體稜長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示座標系d-xyz
（1），
，a1d與ef所成角是
（2）,，
（3）,，
二面角的正弦值為
四、回顧總結
1、二面角的向量解法
2、法向量的夾角與二面角相等或互補的判斷
五、布置作業
六．布置作業
立體幾何中的向量方法
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