一、填空題
1.(2015·四川高考理科·t14)如圖,四邊形abcd和adpq均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點m**段pq上,e,f分別為ab,bc的中點.設異面直線em與af所成的角為θ,則cosθ的最大值為 .
【解析】如圖,建立空間座標系,
設正方形的邊長為2,則a(0,0,0),f(2,1,0),e(1,0,0),設m(0,m,2)(0≤m≤2),
則=(2,1,0), =(1,-m,-2),
cosθ=
令t=2-m(0≤t≤2),
cosθ=
答案:二、解答題
3.（2015·安徽高考理科·t19）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交於f
（1）證明：
(2)求二面角余弦值.
【解題指南】（）利用線面平行的判定和性質定理；
（2）建立空間直角座標系，利用法向量求解。
【解析】（1）因為平面,平面，所以平面,又平面，平面平面=ef，所以ef//.
(2)以a為原點，分別以為x軸，y軸，z軸單位正向量建立空間直角座標系，則a(0，0，0),b(1，0，0),d(0，1,0),而e是
的中點，所以點e的座標為（0.5,0.5,1）.設平面的法向量，又,由,得:
,令，則，
設平面的法向量，又,由同理可得:，
所以結合圖形可得二面角的余弦值為。
4.(2015·天津高考理科·t17)(本小題滿分13分)如圖,在四稜柱abcd-a1b1c1d1中,側稜a1a⊥底面abcd,ab⊥ac,ab=1,ac=aa1=2,ad=cd=,且點m和n分別為b1c和d1d的中點.
(1)求證:mn∥平面abcd.
(2)求二面角d1-ac-b1的正弦值.
(3)設e為稜a1b1上的點,若直線ne和平面abcd所成角的正弦值為,求線段a1e的長.
【解題指南】以a為原點建立空間直角座標系.
(1)求出直線mn的方向向量與平面abcd的法向量,兩個向量的乘積等於0即可.
(2)求出兩個平面的法向量,可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.
(3)設=λ,代入線面角公式計算可解出λ的值,即可求出a1e的長.
【解析】如圖,以a為原點建立空間直角座標系,
依題意可得a(0,0,0),
c(2,0,0),d(1,-2,0),
b1(0,1,2),d1(1,-2,2).
(1)因為m,n分別為b1c和d1d的中點,
得m(1,,1),n(1,-2,1),
所以=(0,-,0).
依題意,可得n=(0,0,1)為平面abcd的乙個法向量.由此可得·n=0,又因為直線mn平面abcd,所以mn∥平面abcd.
(2)=(1,-2,2),=(2,0,0), =(0,1,2).
設n1=(x1,y1,z1)為平面acd1的法向量,則
即不妨設z1=1,可得n1=(0,1,1).
設n2=(x2,y2,z2)為平面acb1的法向量, 則
，得不妨設z2=1,可得n2=(0,-2,1).
因此有，於是.
所以,二面角d1-ac-b1的正弦值為.
(3)設直線ne與平面abcd所成角為θ,依題意,可設，其中，則，從而。又為平面的乙個法向量，由已知，得sinθ==，整理得，又因為，解得.
所以,線段a1e的長為.
5.(2015·新課標全國卷ⅰ理科·t18)(12分)如圖,四邊形abcd為菱形,∠abc=120°,e,f是平面abcd同一側的兩點,be⊥平面abcd,df⊥平面abcd,be=2df,ae⊥ec.
(1)證明:平面aec⊥平面afc.
(2)求直線ae與直線cf所成角的余弦值.
【解析】(1)鏈結bd,設bd∩ac=g,鏈結eg,fg,ef.
在菱形abcd中,不妨設gb=1.由∠abc=120°,可得ag=gc=.
由be⊥平面abcd,ab=bc可知ae=ec.又ae⊥ec,所以eg=,且eg⊥ac.
在rt△ebg中,可得be=,故df=.
在rt△fdg中,可得fg=.
在直角梯形bdfe中,由bd=2,be=,df=,可得ef=.
從而eg2+fg2=ef2,所以eg⊥fg.
又ac∩fg=g,可得eg⊥平面afc.
又因為eg平面aec,所以平面aec⊥平面afc.
(2)如圖,以g為座標原點,分別以,的方向為x軸,y軸正方向,||為單位長度,建立空間直角座標系g-xyz.
由(1)可得, , ,，
所以,.
故.所以直線與直線所成角的余弦值為
6.(2015·新課標全國卷ⅱ理科·t19)(12分)如圖,長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,點e,f分別在a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,過點e,f的平面α與此長方體的面相交,交線圍成乙個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由).
(2)求直線af與平面α所成角的正弦值.
【解析】(1)交線圍成的正方形ehgf如圖:
(2)作em⊥ab,垂足為m,則am=a1e=4,em=aa1=8.
因為四邊形ehgf為正方形,所以eh=ef=bc=10.
於是mh==6,所以ah=10.
以d為座標原點,的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角座標系d-xyz,則
a(10,0,0),h(10,10,0),e(10,4,8),f(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).
設n=(x,y,z)是平面ehgf的法向量,則,.
所以可取，又，故.
所以與平面所成的角的正弦值.
7．(2015·山東高考理科·t17)(本小題滿分12分)如圖,在三稜臺def-abc中,ab=2de,點g,h分別為ac,bc的中點.
(1)求證:bd∥平面fgh.
(2)若cf⊥平面abc,ab⊥bc,cf=de,∠bac=45°,求平面fgh與平面acfd所成的角(銳角)的大小.
【解題指南】(1)要證明線面平行可利用面面平行加以證明.(2)設法構造兩兩垂直的三條直線,以便建立空間直角座標系,利用空間向量求二面角.
【解析】(1)因為def-abc是三稜臺,且ab=2de,所以bc=2ef,ac=2df.
因為點g,h分別是ac,bc的中點,所以gh∥ab,因為ab平面fgh,gh平面fgh,所以ab∥平面fgh;
因為ef∥bh且ef=bh,所以四邊形bhfe是平行四邊形,所以be∥hf,be平面fgh,hf平面fgh,所以be∥平面fgh;又因為ab∩be=b,所以平面abe∥平面fgh,因為bd平面abe,所以bd∥平面fgh.
(2)因為cf⊥平面abc,所以cf⊥ab,
又bc⊥ab,bc∩cf=c,所以ab⊥平面bcfe,
以b為座標原點,bc所在直線為x軸,ba所在直線為y軸建立空間直角座標系,
因為∠bac=45°,所以bc=ab,設de=1,則b(0,0,0),c(2,0,0),a(0,2,0),h(1,0,0),g(1,1,0),f(2,0,1),
所以=(0,1,0),=(1,0,1),設平面fgh的乙個法向量為n=(x,y,z),則,令x=1,則z=-1,所以n=(1,0,-1).
連線bg,可得bg⊥ac,bg⊥cf,又ac∩cf=c,所以bg⊥平面acfd.
所以=(1,1,0)是平面acfd的乙個法向量,所以
所以平面fgh與平面acfd所成的銳二面角的大小為60°.
8．（2015·重慶高考理科·ｔ19）如題（19）圖，三稜錐中，平面，分別為線段上的點，且
(1)證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【解題指南】（1）直接利用勾股定理及線面垂直的定義證明即可（2）通過證明垂直關係建立空間直角座標系，再利用法向量求解二面角的余弦值.
【解析】（1）證明：由平面，平面，故
由得為等腰直角三角形，故
由垂直於平面內兩條相交直線，故平面
（2）解：由（1）可知，為等腰直角三角形，如答（19）圖，
過d作df垂直ce於f，易知又已知，故
由得故以c為座標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角座標系，則
設平面的法向量為由
可得故可取
由（1）可知平面，故平面的法向量可取為，即
從而法向量的夾角的余弦值為
故所求二面角的余弦值為
9.(2015·福建高考理科·t17)
如圖,在幾何體abcde中,四邊形abcd是矩形,ab⊥平面bec,be⊥ec,ab=be=ec=2,點g,f分別是線段be,dc的中點.
(1)求證:gf∥平面ade.
(2)求平面aef與平面bec所成銳二面角的余弦值.
【解題指南】(1)利用線線平行線面平行,找出ae的中點h,連線hg,hd即可.或者利用面面平行線面平行,找出ab的中點m,連線mg,mf.(2)利用空間向量求出銳二面角的余弦值.
【解析】
方法一:(1)如圖,取ae的中點h,連線hg,hd,又點g是be的中點,所以gh∥ab,且gh=ab,又點f是cd的中點,所以df=cd,由四邊形abcd是矩形得,ab∥cd,ab=cd,所以gh∥df,且gh=df,從而四邊形hgfd是平行四邊形,所以gf∥dh.又dh平面ade,gf平面ade,所以gf∥平面ade.
(2)如圖,在平面bec內,過點b作bq∥ec,因為be⊥ce,所以bq⊥be,又因為ab⊥平面bec,所以ab⊥be,ab⊥bq,以b為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角座標系,則a(0,0,2),b(0,0,0),e(2,0,0),f(2,2,1),因為ab⊥平面bec,所以=(0,0,2)為平面bec的法向量.設n=(x,y,z)為平面aef的法向量,又，，由，得，取，得.從而，所以平面aef與平面bec所成銳二面角的余弦值為.
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