複習課：立體幾何中的向量方法（3）期末迎考系列
教學目標
重點：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關係.
難點：能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行，垂直，夾角與距離的計算問題.
能力點：理解向量方法在研究立體幾何問題中的應用．
教育點：理解數形結合思想、轉化與化歸等數學思想.
自主**點：能用向量方法證明有關直線和平面位置關係的一些定理.
易錯點：直線的方向向量與平面的法向量確定.
拓展點：鏈結高考.
學法與教具
1. 學法：講練結合、啟發誘導 2.教具：多**、導學案
一、【知識結構】
二、【知識梳理】
1.平行與垂直
2．求空間角
（1）直線和直線所成的角：求二直線上方向向量的夾角或補角；
（2）直線和平面所成的角：
①找出射影，求線線角；
②求出平面的法向量，直線的方向向量，
設線面角為,則.
（3）二面角：
①求平面角，或求分別在兩個麵內與稜垂直的兩個向量的夾角（或補角）；
②求兩個法向量的夾角（或補角）.
3．求空間距離
（1）點到面的距離
（如圖）就是斜線段在法向量方向上的正投影.
由得距離公式：
（2）線面距離、面面距離都是求一點到平面的距離；
（3）異面直線的距離：求出與二直線都垂直的法向量和連線兩異面直線上兩點的向量，再代上面距離公式.
三、【範例導航】
1.平行與垂直的證明問題
例1：如圖，已知四稜錐的底面是直角梯形，，
，側面底面．
⑴與是否相互垂直，請證明你的結論；
⑵求證：平面⊥平面．
【分析】判斷是否垂直只需考察向量的數量積是否為0即可，
欲證麵麵垂直需先證線線垂直，最終也歸結為向量的數量積為0問題．
解：取的中點，由側面底面，
是等邊三角形，
得⊥底面．
以為原點，以所在直線為軸，
過點與平行的直線為軸，
建立如圖所示的空間直角座標系，
設，則在直角梯形中，，
在等邊三角形中，．∴
⑴與相互垂直.證明如下：∵
∴．⑵取的中點，鏈結，則的座標為．
又，，∴．∴
∴⊥平面． ∴平面平面．
【點評】運用向量數量積判斷向量的共線與垂直，用向量證明線線、線面、麵麵的垂直，尤其是用向量法來解決垂直問題相比一作二證三演算法要方便了許多．
變式訓練:（2023年1月棗莊市高二期末考題）
在四稜錐中，底面是正方形，側稜,
，點是的中點，作交於點.
⑴求證：；
⑵ 求證：；
答案：⑴⑵略
2.求解空間角的問題
例2：（2023年山東理科高考題）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,∥,
平面.⑴求證:平面；
⑵求二面角的余弦值.
【分析】證明線面垂直問題需先證線線垂直，轉化為考察向量的數量積是否為0即可，
欲求二面角的大小，需要先明確哪個角就是所要求的角然後借助於向量的夾角公式求解即可，其中有方向向量法和法向量法兩種．
解法一:⑴在等腰梯形中, , , , 由餘弦定理可知
, 即,在中, , ,則為直角三角形,且.又,平面,平面,且,故⊥平面；
⑵由⑴可知,設,則,建立如圖所示的空間直角座標系, ,向量為平面的乙個法向量.
設向量為平面的法向量,則,
即, 取,則,則為平面的乙個法向量.
,而二面角的平面角為銳角,則
二面角的余弦值為.
解法二:取的中點,連線,由於,因此,
又平面,平面,所以
由於平面,所以平面
故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,
由於,因為,又,所以,
故,因此二面角的余弦值為.
【點評】注意求二面角的大小通常有向量法與常規法兩種，其中常規法的一作二證三算也不可小瞧．
變式訓練:（2023年1月棗莊市高二期末考題）
在四稜錐中，底面是正方形，側稜,
，點是的中點，作交於點.
⑶求二面角的大小.
答案：⑶
3.求解空間距離問題
例3：如圖，已知為邊長是4的正方形，分別是,的中點，垂直於所在的平面，且，求點到平面的距離.
【分析】欲求點到面的距離，需要先明確求解的方法步驟，然後再按步驟操作即可．
解法一：鏈結，，，
又，分別是，的中點，，.
解法二：，分別是，的中點，，點到平面的距離為上任一點到平面的距離，於，，，又平面，平面，，平面平面，過點作，則平面，為到平面的距離，即到平面的距離.
，由解法一知：，由∽得 .
【點評】本例主要介紹了空間中點到面的距離的求法，解法一主要是通過等體積法求解，方法二則是通過將點到面的距離在圖形當中作出來的，然後再去求相應的垂線段的長度.在作垂線段時，面面垂直是經常用到條件.而且立體幾何中的距離問題大多都可以轉化成點麵距離來求.
變式訓練:
已知是底面邊長為1的正四稜柱，是和的交點，若點到平面的距離為，求點到平面的距離．
解：建立如圖空間直角座標系，有，，，
，， 設平面的乙個法向量為，
∵取，得
∴點到平面的距離為，則．
四、【解法小結】
1.利用空間向量證明（判斷）平行或垂直
平面的法向量的求法:設出平面的乙個法向量，利用其與該平面內的兩個不共線向量垂直，即數量積為0，列出方程組，兩個方程，三個未知數，此時給其中乙個變數恰當賦值，求出該方程組的乙個非零解，即得到這個法向量的座標．賦值不同得到法向量的座標也不同，法向量的座標不唯一．
2.異面直線所成的角、線面角的求法：
⑴利用向量法求異面直線所成的角時，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同．同時注意根據異面直線所成的角的範圍得出結論．
⑵ 利用向量法求線面角的方法:一是分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其餘角就是斜線和平面所成的角.
3. 二面角的求法:
利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內找到乙個與稜垂直且從垂足出發的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求：設二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則二面角的大小等於(或)
4.求點到平面距離的方法：①垂面法：借助面面垂直的性質來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關鍵；②等體積法，轉化為求三稜錐的高；③等價轉移法；④法向量法.
5.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的座標表示幾何量，共分三步：
⑴建立立體圖形與空間向量的聯絡，用空間向量(或座標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；⑵通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關係；⑶根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題.
五、【布置作業】
必做題：
1. 已知正三稜柱的底面邊長為8，對角線，是的中點.
⑴求點到直線的距離；
⑵求直線到平面的距離.
必做題答案：⑴；⑵.
選做題：
(2011天津高考)如圖，在三稜柱中，
是正方形的中心，，
，且.⑴求異面直線所成角的余弦值；
⑵求二面角的正弦值；
⑶設為稜的中點，點在平面內，且，求線段的長．
選做題答案：1.⑴⑵⑶
【點評】通過這種階梯式遞進訓練之後再鏈結高考，讓學生真正觸控到學習這類問題的重要性和迫切性，讓學生感覺到高考題並不神秘，它就在我們平時的訓練之中．
六、【教後反思】
1.本教案的亮點是：知識結構清晰，直觀簡明；知識梳理強化了學生對於利用空間向量表示平行或垂直時，直線的方向向量與平面的法向量之間的關係，便於學生的理解記憶；例題選擇有代表性，緊扣課本，鏈結高考，知識的重點、難點體現較好，通過講練結合，大大提高學生的學習效率；對解題方法的總結比較好，便於學生系統的運用所學知識解決具體問題．
2.本教案的弱項是：例題中沒有涉及到空間的距離，只是在選做作業中有，同時選做作業難度較大.
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3 2立體幾何中的向量方法 5
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