空間向量的數乘運算
了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；掌握空間直線的向量引數方程；會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題．
教學重點：空間直線、平面的向量引數方程及線段中點的向量公式．
教學過程：
一複習引入
1. 回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量與非零向量是否共線？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由於任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．
向量與非零向量共線的充要條件是有且只有乙個實數λ，使＝λ.稱平面向量共線定理，
二、新課講授
1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行於記作//．
2．關於空間共線向量的結論有共線向量定理及其推論：
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠0），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
理解：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：
若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數。②判斷定理：若存在唯一實數，使＝（≠0），則有∥（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）.
⑵對於確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當》0時與同向，當<0時與反向的所有向量.
3. 推論：如果l為經過已知點a且平行於已知非零向量的直線，那麼對於任意一點o，點p在直線l上的充要條件是存在實數t滿足等式．
其中向量叫做直線l的方向向量.
推論證明如下：
∵ l//a ，∴ 對於l上任意一點p，存在唯一的實數t，使得．(*)
又∵ 對於空間任意一點o，有，
∴ ， ． ①
若在l上取，則有．(**)
又 當時，．③
理解：⑴ 表示式①和②都叫做空間直線的向量引數表示式，③式是線段的中點公式．事實上，表示式(*)和(**)既是表示式①和②的基礎，也是直線引數方程的表達形式．
⑵ 表示式①和②三角形法則得出的，可以據此記憶這兩個公式．
⑶ 推論一般用於解決空間中的三點共線問題的表示或判定．
空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同，
是平面向量相關知識的推廣．
4. 出示例1：用向量方法證明順次連線空間四邊形四邊中點的四邊形
是平行四邊形. （ 分析：如何用向量方法來證明？）
5. 出示例2：如圖o是空間任意一點，c、d是線段ab的三等分點，分別用、表示、.
三、鞏固練習： 作業：
3.1.2空間向量的數乘運算（二）
教學要求：了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內的充要條件；會用上述知識解決立幾中有關的簡單問題．
教學重點：點在已知平面內的充要條件．
教學難點：對點在已知平面內的充要條件的理解與運用．
教學過程：
一、複習引入
1. 空間向量的有關知識——共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的乙個重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那麼對這一平面內的任意乙個向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
二、新課講授
1. 定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α內，則稱向量a平行於平面α，記作a//α．
向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內，而直線與平面平行時兩者是沒有公共點的．
2. 定義：平行於同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內的，但可以平移到同一平面內．
3. 討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．
結論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量．例如：對於空間四邊形abcd，、、這三個向量就不是共面向量．
4. 討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數對x，y，使得 p= xa+yb ．
證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線．
∵ 向量p與向量a、b共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一對有序實數對x，y，使得 p= xa+yb．
充分性：如圖，∵ xa，yb分別與a、b共線， ∴ xa，yb都在a、b確定的平面內．
又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，並且此平行四邊形在a、b確定的平面內，
∴ p= xa+yb在a、b確定的平面內，即向量p與向量a、b共面．
說明：當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用於判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內．
6. 共面向量定理的推論是：空間一點p在平面mab內的充要條件是存在有序實數對x，y，使得，① 或對於空間任意一定點o，有 ．②
分析：⑴推論中的x、y是唯一的一對有序實數； ⑵由得：， ∴③
公式①②③都是p、m、a、b四點共面的充要條件．
7. 例題：課本p88例1 ，解略．
小結：向量方法證明四點共面
三、鞏固練習
1. 練習：課本p89 練習3題.
2. 作業：課本p89 練習2題.
向量的數量積（2）
一、教學目標：①向量的數量積運算
②利用向量的數量積運算判定垂直、求模、求角
二、教學重點：①向量的數量積運算
②利用向量的數量積運算判定垂直、求模、求角
三、教學方法：練習法，糾錯法，歸納法
四、教學過程：
考點一：向量的數量積運算
（一）、知識要點：
1）定義：① 設<>=,則的範圍為
②設，則
注：①不能寫成，或 ②的結果為乙個數值。
2）投影：在方向上的投影為
3）向量數量積運算律：
注：①沒有結合律
(二）例題講練
1、下列命題：①若，則，中至少乙個為②若且，則
③④中正確有個數為
a. 0個b. 1個c. 2個d. 3個
2、已知中，a，b，c所對的邊為a,b,c，且a=3,b=1,c=30°,則
3、若，，滿足，且，則
4、已知，且與的夾角為，則在上的投影為
考點二：向量數量積性質應用
(一)、知識要點：
①（用於判定垂直問題）
②（用於求模運算問題）
③（用於求角運算問題）
(二)例題講練
1、已知，，且與的夾角為，，，求當m為何值時
2、已知，，，則
3、已知和是非零向量，且==，求與的夾角
4、已知，，且和不共線，求使與的夾角是銳角時的取值範圍
鞏固練習
1、已知和是兩個單位向量，夾角為，則（）等於（ ）
a.-8bcd.8
2、已知和是兩個單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ）
a. b. c. d.
3、在中，設，，，若，則（ ）
直角三角形銳角三角形鈍角三角形無法判定
4、已知和是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角。
5、已知、、是非零的單位向量，且++=，求證：
為正三角形。
3.1.4空間向量的正交分解及其座標表示
教學要求：掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和座標表示；掌握空間向量的座標運算的規律；會根據向量的座標，判斷兩個向量共線或垂直．
教學重點：空間向量基本定理、向量的座標運算．
教學難點：理解空間向量基本定理．
教學過程：
一、新課引入
1. 回顧：平面向量的加減與數乘運算以及平面向量的座標運算，
2. 複習：平面向量基本定理.
二、講授新課
1. 模擬：由平面向量的基本定理，對平面內的任意向量，均可分解為不共線的兩個向量和，使.
如果時，這種分解就是平面向量的正交分解. 如果取為平面直角座標系的座標軸方向的兩個單位向量，則存在一對實數x、y，使得，即得到平面向量的座標表示.
推廣到空間向量，結論會如何呢？
(1)空間向量的正交分解：對空間的任意向量，均可分解為不共面的三個向量、、，使. 如果兩兩垂直，這種分解就是空間向量的正交分解.
(2)空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在有序實陣列，使得. 把叫做空間的乙個基底（base），都叫做基向量.
2. 單位正交基底：如果空間乙個基底的三個基向量互相垂直，且長度都為1，則這個基底叫做單位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．
單位——三個基向量的長度都為1；正交——三個基向量互相垂直．
選取空間一點o和乙個單位正交基底｛i,j,k｝，以點o為原點，分別以i,j,k的方向為正方向建立三條座標軸：x軸、y軸、z軸，得到空間直角座標系o-xyz，
3. 空間向量的座標表示：給定乙個空間直角座標系和向量a，且設i、j、k為座標向量，則存在唯一的有序實陣列，使a＝i＋j＋k．
空間中相等的向量其座標是相同的．→討論：向量座標與點的座標的關係？
向量在空間直角座標系中的座標的求法：設a，b，則＝－＝－＝．
4. 向量的直角座標運算：設a＝，b＝，則
⑴a＋b＝； ⑵a－b＝；
⑶λa＝； ⑷a·b＝
證明方法：與平面向量一樣，將a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可．
5. 兩個向量共線或垂直的判定：設a＝，b＝，則
⑴a//ba＝λb， ；
⑵a⊥ba·b=0．
6. 練習：已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．
立體幾何中的向量方法 夾角
3.2立體幾何中的向量方法 夾角問題 自我評價你完成本節導學案的情況為 a.很好 b.較好 c.一般 d.較差 一 學習目標 1 能借助空間幾何體內的位置關係求空間的夾角 2 能用向量方法解決線線 線面 麵麵的夾角的計算問題。二 學法指導 c層 複習兩個向量的夾角公式 兩個向量的夾角公式 設a b ...
3 2立體幾何中的向量方法 5
3.2立體幾何中的向量方法 5 課題 空間的角的計算 2 教學目標 能用向量方法解決二面角的計算問題 教學重點 二面角的計算 教學難點 二面角的計算 教學過程 一 創設情景 1 二面角的定義及求解方法 2 平面的法向量的定義 二 新課講授 利用向量求二面角的大小。方法一 轉化為分別是在二面角的兩個半...
立體幾何中的向量方法訓練題
高中新課標選修 2 1 立體幾何中的向量方法測試題 一 選擇題 1 長方體中，點分別是的中點，則異面直線與所成的角是 答案 2 如圖1，在斜三稜柱中，則在面上的射影必在 直線上直線上 直線上內部 答案 3 若三稜錐的三條側稜兩兩垂直，且滿足，則到平面的距離為 答案 4 平面與平面相交成乙個銳二面角，...