空間向量與立體幾何
解法步驟：利用空間向量解決立體幾何問題的「三部曲」：
1．向量表示（把立體幾何問題中的點、直線、平面等元素用空間向量表示）；
2．向量運算（針對立體幾何問題，進行空間向量運算）；
3．回歸幾何（把空間向量運算結果回歸幾何意義）。
理論依據：
直線a,b的方向向量分別為,平面的法向量分別為。
1．兩異面直線a，b的夾角（）的大小，
可以由來計算。
2．直線a和平面的夾角（）的大小，
可以由來計算。
3．兩個平面的夾角（）的大小，
可以由來計算。
4．點a到平面的（b是平面內任意點）距離可以由
5．線線平行a∥b ∥ ；
6．線面平行a∥ ；
7．面面平行∥∥
8．線線垂直a⊥ ⊥ ；
9．線面垂直a⊥∥ ；
10．面面垂直⊥⊥
例1（遼寧10）已知三稜錐p－abc中，pa⊥abc，ab⊥ac，pa=ac=ab，
n為ab上一點，ab=4an,m,s分別為pb,bc的中點.
（ⅰ）證明：cm⊥sn；
（ⅱ）求sn與平面cmn所成角的大小.
例2 (湖北10)如圖, 在四面體aboc中，oc⊥oa, oc⊥ob,∠aob=120°，且oa=ob=oc=1.
(ⅰ) 設p為ac的中點.證明：在ab上存在一點q,
使pq⊥oa,並計算的值；
(ⅱ) 求二面角o-ac-b的平面角的余弦值.
解： 例3 （江西10）如圖△bcd與△mcd都是邊長為2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，。
（1） 求點a到平面mbc的距離；
（2） 求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值。
解：取cd中點o，連ob，om，則ob⊥cd，om⊥cd，
又平面平面,則mo⊥平面.
以o為原點，直線oc、bo、om為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角座標系如圖.ob=om=，則各點座標分別為o（0，0，0），c（1，0，0），
m（0，0，），b（0，-，0），a（0，-，2），
（1）設是平面mbc的法向量，則，
，由得；由得；取，則所求距離
（2）所求二面角為，則.
例4 (山東09) 如圖，在直四稜柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab//cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是稜ad、aa、ab的中點。
（1） 證明：直線ee//平面fcc；
（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。
解法二:（1）因為ab=4, bc=cd=2, f是稜ab的中點,
所以bf=bc=cf,△bcf為正三角形, 因為abcd為
等腰梯形,所以∠bac=∠abc=60°,取af的中點m,
連線dm,則dm⊥ab,所以dm⊥cd,
以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角座標系,
,則d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,,0）,e1（,-1,1）,所以,,設平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee//平面fcc.
(2)二面角b-fc-c的余弦值為.
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