高考要求
向量作為高中教材新增內容，以其獨特的數形結合和座標運算，使之成為廣泛應用工具，但今後幾年將有淡化的趨勢．
一、 兩點解讀
重點：1．求異面直線的夾角；2．求直線與平面所成的角；3．求二面角的大小；
4．求點到面的距離．
難點：求二面角時，對二面角是銳角或鈍角的判斷．
二、 課前訓練
1．在正方體中，下列各式中運算結果為向量的共有（ ）
③ ④
（a）1個b）2個c）3個d）4個
2．已知三點不共線，點是平面外一點，則下列各條件中，能得到點與一定共面的條件為（ ）
（ab（cd）
3．在正方體abcd—a1b1c1d1中，e是稜cc1的中點，則直線d1e，bc1所成角的大小為
4．正方體abcd—a1b1c1d1中，o是上底面abcd中心，若稜長為a，則三稜錐o—ab1d1的體積為
三、 典型例題
例1 正方體abcd—a1b1c1d1中，則異面直線ac與bc1的夾角為
（a）30b）45c）60d）90°
例2已知正方體abcd-a1b1c1d1的稜長為１，點m在稜ab上，且,點p是abcd麵內的動點，且點p到直線a1d1的距離與點p到點m的距離的平方差為１，則點p的軌跡是
（a）拋物線 （b）雙曲線 （c）直線 （d）以上都不是
例3 過正方形abcd的頂點a，引pa⊥平面abcd，若pa = ab，則平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是
例4 四稜柱abcd－a1b1c1d1中，給出三個結論：
（1）四稜柱abcd－a1b1c1d1為直四稜柱；（2）底面abcd為菱形；
（3）ac1⊥b1d1． 以其中兩個論斷作為條件，餘下的乙個論斷作為結論，可以得到三個命題，其中正確命題的個數為
例5 如圖，在三稜椎p-abc中，pa⊥平面abc， d、e、f分別是稜ab、bc、cp的中點，ab=ac=1，pa=2．
（ⅰ）求直線pa與平面def所成角的大小；
（ⅱ）求點p到平面def的距離．
例6 如圖，在正三稜柱a1b1c1—abc中，d，e分別是
稜bc、的中點，ab=aa1=2．
(ⅰ)證明：；
(ⅱ）求二面角的大小；
(ⅲ）求異面直線與be的距離．
第30講用向量法解立體幾何問題
1．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題：①；②；③；④，其中正確的兩個命題的序號是
（a） ①與② （b） ③與④ （c）②與④ （d）①與③
2．在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1中，p，q是對角線a1c上的點，且pq=，則三稜錐p－bdq的體積為
（a） （b） （c） （d）無法確定
3．空間四邊形每邊及對角線長均為，分別是的中點，則
（ab ． 1cd）
4．在正三稜錐pabc中，已知底面邊長為4，側稜長為6，則側稜與底面所成角的大小為
5．已知正方體abcd—a1b1c1d1的稜長是1，在正方體的側面bcc1b1上到點a距離為的點的集合形成一條曲線，那麼這條曲線的形狀是它的長度是 ．
6．正方體abcd—a1b1c1d1中，o是上底面abcd中心，若稜長為a，則三稜錐o—ab1d1的體積為
7．如圖，在稜長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別為a1b1、a1d1的中點，g、h分別為bc、b1d1的中點．
（1）求異面直線gh與df的所成角的大小；
（2）指出直線gh與平面efdb的位置關係．
8．如圖，已知正四稜柱abcd—a1b1c1d1，點e在稜d1d上，截面eac∥d1b，且面eac與底面abcd所成的角為45°，ab = a．
(ⅰ) 求截畫eac的面積；
(ⅱ)求證：直線db1⊥平面eac；
(ⅲ)求三稜錐b1—eac的體積．
第30講用向量法解立體幾何問題答案
課前訓練
1234．
典型例題
例1例2例3例4 1
例5解：（ⅰ）以a為座標原點，建立如圖空間直角座標系
易知：a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2），
，，設是平面def的乙個法向量，
則即 ， 取x =1, 則，
設pa與平面 def所成的角為，則
例6證明：（ⅰ）以a為原點，建立如圖的空間直角座標系，易知各點座標
a(0,0,0), b(,1,0)，b1(,1,0), e(0,2,1),
則， 即
（ⅱ）易知：，，設是平面的乙個法向量，則，令
則 ，，設是平面乙個法向量，則，令則
設二面角為，則
（ⅲ）設是與be的法向量,
則，可得：取 y=3, 可知
，．五、過關練習
1． 2． 3 ． 4． 5．圓弧， 6 ．
7．(1)arccos；(2)平行 8．；(2)略；(3)
向量法解立體幾何
用傳統的方法解立體幾何需要煩瑣的分析 複雜的計算。而用向量法解題思路清晰 過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果。一.證明兩直線平行 已知兩直線和,則存在唯一的實數使 二.證明直線和平面平行 1.已知直線且三點不共線，則 存在有序實數對使 2.已知直線和平面 的法向量,則 ...
向量法解立體幾何題的總結
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用空間向量解立體幾何問題方法歸納 學生版
一 平行垂直問題基礎知識 直線l的方向向量為a a1，b1，c1 平面 的法向量u a3，b3，c3 v a4，b4，c4 1 線面平行 l a ua u 0a1a3 b1b3 c1c3 0 2 線面垂直 l a ua kua1 ka3，b1 kb3，c1 kc3 3 面面平行 u vu kva3 ...