空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實用性是其它方法無法比擬的，因此應加強運用向量方法解決幾何問題的意識，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養向量的代數運算推理能力，掌握向量的基本知識和技能，充分利用向量知識解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。
一、 利用向量知識求點到點，點到線，點到面，線到線，線到面，面到面的距離
（1）求點到平面的距離除了根據定義和等積變換外還可運用平面的法向量求得，方法是：求出平面的乙個法向量的座標，再求出已知點與平面內任一點構成的向量的座標，那麼到平面的距離
（2）求兩點之間距離，可轉化求向量的模。
（3）求點到直線的距離，可在上取一點，令或的最小值求得引數，以確定的位置，則為點到直線的距離。還可以在上任取一點先求，再轉化為，則為點到直線的距離。
(4)求兩條異面直線之間距離，可設與公垂線段平行的向量，分別是上的任意兩點，則之間距離
例1：設，求點到平面的距離
例2：如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直。點在上移動，點在上移動，若。
（ⅰ）求的長；（ⅱ）當為何值時，的長最小；
（ⅲ）當長最小時，求面與面所成的二面角的大小
例3：正方體的稜長為1，求異面直線與間的距離
例4：如圖，在長方體中，求平面與平面的距離。
點評：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點到平面的距離，平行平面之間的距離轉化為點到平面的距離，變為斜線在法向量上的射影。
二、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。
（1）設是兩條異面直線，是上的任意兩點，是直線上的任意兩點，則所成的角為
（2）設是平面的斜線，且是斜線在平面內的射影，則斜線與平面所成的角為。設是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。
（3）設是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補角的大小。
例5：在稜長為的正方體中，分別是的中點，
（1）求直線所成角；
（2）求直線與平面所成的角，
（3）求平面與平面所成的角
例6：如圖，四稜錐中，底面abcd為矩形，底面abcd，ad=pd，e，f分別cd、pb的中點.
（ⅰ）求證：ef平面pab；
（ⅱ）設ab=bc，求ac與平面aef所成角的大小.
例7：如圖，，，求二面角的大小。
點評：如果分別是二面角兩個麵內的兩條直線，且
，則二面角的大小為
例8：如圖，在底面是直角梯形的四稜錐s-abcd中，∠abc = 90°，sa⊥面abcd，sa = ab = bc = 1，．求面scd與面sba所成的二面角的正切值．
點評：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當法向量的方向分別指向二面角內側與外側時，二面角的大小等於法向量的夾角的大小。
（2）當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等於法向量的夾角的補角。
三、利用向量知識解決平行與垂直問題。
例9：如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，,點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：a1c //平面cdb1；
點評：平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
例10．如圖，在長方體abcd—a1b1c1d1，中，ad=aa1=1，ab=2，點e在稜ad上移動.
（1）證明：d1e⊥a1d；
（2）當e為ab的中點時，求點e到面acd1的距離；
（3）ae等於何值時，二面角d1—ec—d的大小為.
.四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。
例11．如圖，在直三稜柱中，
（1）求證（2）在上是否存在點使得
（3）在上是否存在點使得
五、專題突破：
1、如圖：已知二面角的大小為，點於點，，且，求 （1）直線所成角的大小，（2）直線的距離。
2、如圖，在四稜錐p—abcd中，pd⊥底面abcd，底面abcd為正方形，pd=dc，e、f分別是ab、pb的中點.
（ⅰ）求證：ef⊥cd；
（ⅱ）在平面pad內求一點g，使gf⊥平面pcb，並證明你的結論；
（ⅲ）求db與平面def所成角的大小.
3、如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，∠acb=90°，cb=1,ca=, aa1=,m為側稜cc1上一點,．
（1）求證: am平面；
（2）求二面角b－am－c的大小；
（3）求點c到平面abm的距離．
4、如圖，是正四稜柱，側稜長為3，底面邊長為2，e是稜的中點。
（ⅰ）求證： //平面；
（ⅱ）求二面角的大小
（ⅲ）在側稜上是否存在點,使得平面？證明你的結論。
5、如圖，在直三稜柱abc—a1b1c1中，∠acb=90°，ac=bc=cc1=2.
（i）證明：ab1⊥bc1；
（ii）求點b到平面ab1c1的距離.
（iii）求二面角c1—ab1—a1的大小
6、( 2023年湖南卷）如圖4,已知兩個正四稜錐p-abcd與q-abcd的高分別為1和2,ab=4.(ⅰ)證明pq⊥平面abcd;
(ⅱ)求異面直線aq與pb所成的角;
(ⅲ)求點p到平面qad的距離.
7、（2023年全國卷ii）如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab＝bc，d、e分別為bb1、ac1的中點．
（ⅰ）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線；
（ⅱ）設aa1＝ac＝ab，求二面角a1－ad－c1的大小．
參***：
例1：解：設平面的法向量，所以
， ，所以設到平面的距離為，
例2：解：建立如圖所示空間直角座標系
(2)由得
（3）又所以可求得平面與平面的法向量分別為，所以，所以
例3：解：如圖建立座標系，則
，設是直線與的公垂線，且則，
例4：解：，同理又，建立直角座標系，，
,設為平面的法
向量，則
由，不妨設
二、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。
例5：解：（1）如圖建立座標系，則
，故所成的角為
（2）所以在平面內的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示座標系，則，，
故與平面所成角為
由所以平面的法向量為下面求平面的法向量，設，由，，
，所以平面與平面所成的角
點評：（1）設是兩條異面直線，是上的任意兩點，是直線上的任意兩點，則所成的角為
（2）設是平面的斜線，且是斜線在平面內的射影，則斜線與平面所成的角為。
（3）設是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補角的大小。
例6：（ⅰ）證明：建立空間直角座標系（如圖），設ad=pd=1，ab=（），則e(a,0,0), c(2a,0,0), a(0,1,0), b(2a,1,0), p(0,0,1),.得，，.
由，得，即，
同理，又， 所以，ef平面pab.
（ⅱ）解：由，得，即.
得，，.
有，，.
設平面aef的法向量為，
由，解得. 於是.
設ac與面aef所成的角為，與的夾角為.
則.得. 所以，ac與平面aef所成角的大小為.
點評：設是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。
例7：解：建立如圖所示空間直角座標系，取的中點，連可證，作於，則向量的夾角的大小為二面角的大小。，為的中點，
，在中，，
， ，，，二面角的大小為
例8：解：如圖建立直角座標系，則
， 所以是平面的乙個法向量。設平面的乙個法向量
由， 令，
平面與平面所成的二面角的正切值為
點評：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當法向量的方向分別指向二面角內側與外側時，二面角的大小等於法向量的夾角的大小。
（2）當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等於法向量的夾角的補角。
三、利用向量知識解決平行與垂直問題。
例9：解：∵直三稜柱abc－a1b1c1底面三邊長ac＝3，bc＝4，ab＝5，∴ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為座標原點，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴＝0，∴ac⊥bc1.
（2）設cb1與c1b的交戰為e，則e（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴de∥ac1. ∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
點評：平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
例10． 解：以d為座標原點，直線da，dc，dd1分別為軸，建立空間直角座標系，設ae=x，則a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）
（1）（2）因為e為ab的中點，則e（1，1，0），從而，
，設平面acd1的法向量為，則
也即，得，從而，所以點e到平面ad1c的距離為
（3）設平面d1ec的法向量，∴
由令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴依題意
∴（不合，捨去），.
∴ae=時，二面角d1—ec—d的大小為.
四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。
例11．解：直三稜柱，兩兩垂直，以為座標原點，
直線分別為軸軸，軸，建立空間直角座標系，
則， （1），
（2）假設在上存在點，使得，則
其中，則，於是由於，且
所以得，所以在上存在點使得，且這時點與點重合。
（3）假設在上存在點使得，則其中則，又由於，，所以存在實數成立，所以，所以在上存在點使得，且使的中點。
總結：向量有一套良好的運算性質，它可以把幾何圖形的性質轉化為向量運算，實現了數與形的結合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探索性等問題中體現出巨大的優越性，請同學們認真領會。
五、專題突破：
1解：設，，
（1），
所成的角為
（2）設與都垂直的非零向量由得，令，
設的距離為，
2、解：以da、dc、dp所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系（如圖），設ad=a，則d（0，0，0）、a（a,0,0）、b(a,a,0)、c(0,a,0)、、
（ⅰ）（ⅱ）
（ⅲ）設平面def的法向量為
用向量法解立體幾何問題
高考要求 向量作為高中教材新增內容，以其獨特的數形結合和座標運算，使之成為廣泛應用工具，但今後幾年將有淡化的趨勢 一 兩點解讀 重點 1 求異面直線的夾角 2 求直線與平面所成的角 3 求二面角的大小 4 求點到面的距離 難點 求二面角時，對二面角是銳角或鈍角的判斷 二 課前訓練 1 在正方體中，下...
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立體幾何中的向量方法
空間向量的數乘運算 了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法 理解共線向量定理及其推論 掌握空間直線的向量引數方程 會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題 教學重點 空間直線 平面的向量引數方程及線段中點的向量公式 教學過程 一複習引入 1.回顧平面向量向量知識 平行向量或共線向量？怎樣判定向量與...