一．平行垂直問題基礎知識
直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)
(1)線面平行：l∥αa⊥ua·u＝0a1a3＋b1b3＋c1c3＝0
(2)線面垂直：l⊥αa∥ua＝kua1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3
(3)面面平行：α∥βu∥vu＝kva3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4)面面垂直：α⊥βu⊥vu·v＝0a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
例1、如圖所示，在底面是矩形的四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd，e，f分別是pc，pd的中點，pa＝ab＝1，bc＝2.
(1)求證：ef∥平面pab；
(2)求證：平面pad⊥平面pdc.
使用空間向量方法證明線面平行時，既可以證明直線的方向向量和平面內一條直線的方向向量平行，然後根據線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然後使用判定定理進行判定，也可以證明兩個平面的法向量垂直.
例2、在直三稜柱abca1b1c1中，∠abc＝90°，bc＝2，cc1＝4，點e**段bb1上，
且eb1＝1，d，f，g分別為cc1，c1b1，c1a1的中點．
求證：(1)b1d⊥平面abd；
(2)平面egf∥平面abd.
二．利用空間向量求空間角基礎知識
(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設線面所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，
若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；
若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.
例1、如圖，在直三稜柱a1b1c1abc中，ab⊥ac，ab＝ac＝2，a1a＝4，
點d是bc的中點．
(1)求異面直線a1b與c1d所成角的余弦值；
(2)求平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值．
例2、如圖，三稜柱abca1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
(1)證明：ab⊥a1c；
(2)若平面abc⊥平面aa1b1b，ab＝cb，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值．
(1)運用空間向量座標運算求空間角的一般步驟：
①建立恰當的空間直角座標系；②求出相關點的座標；③寫出向量座標；④結合公式進行論證、計算；⑤轉化為幾何結論．
(2)求空間角應注意：
①兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cos α＝|cos β|.
②兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求．
例3、如圖，在四稜錐sabcd中，ab⊥ad，ab∥cd，cd＝3ab＝3，
平面sad⊥平面abcd，e是線段ad上一點，ae＝ed＝，se⊥ad.
(1)證明：平面sbe⊥平面sec；
(2)若se＝1，求直線ce與平面sbc所成角的正弦值．
例4、如圖是多面體abca1b1c1和它的三檢視．
(1)線段cc1上是否存在一點e，使be⊥平面a1cc1？若不存在，請說明理由，若存在，請找出並證明；
(2)求平面c1a1c與平面a1ca夾角的余弦值．
三．利用空間向量解決探索性問題
例1、如圖1，正△abc的邊長為4，cd是ab邊上的高，e，f分別是ac和bc邊的中點，現將△abc沿cd翻摺成直二面角adcb(如圖2)．
(1)試判斷直線ab與平面def的位置關係，並說明理由；
(2)求二面角edfc的余弦值；
(3)**段bc上是否存在一點p，使ap⊥de？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．
(1)空間向量法最適合於解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行複雜的作圖、論證、推理，只需通過座標運算進行判斷.
(2)解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把「是否存在」問題轉化為「點的座標是否有解，是否有規定範圍內的解」等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善於運用這一方法.
例2、.如圖所示，在直三稜柱abca1b 1c1中，∠acb＝90°，aa1＝bc＝2ac＝2.
(1)若d為aa1中點，求證：平面b1cd⊥平面b1c1d；
(2)在aa1上是否存在一點d，使得二面角b1cdc1的大小為60°？
四．空間直角座標系建立的創新問題
空間向量在處理空間問題時具有很大的優越性，能把「非運算」問題「運算」化，即通過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題．解決的關鍵環節之一就是建立空間直角座標系，因而建立空間直角座標系問題成為近幾年試題新的命題點．
一、經典例題領悟好
例1、如圖，四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd，bc＝cd＝2，ac＝4，
∠acb＝∠acd＝，f為pc的中點，af⊥pb.
(1)求pa的長；
(2)求二面角bafd的正弦值．
建立空間直角座標系的基本思想是尋找其中的線線垂直關係(本題利用ac⊥bd)，若圖中存在交於一點的三條直線兩兩垂直，則以該點為原點建立空間直角座標系.在沒有明顯的垂直關係時，要通過其他已知條件得到垂直關係，在此基礎上選擇乙個合理的位置建立空間直角座標系，注意建立的空間直角座標系是右手系，正確確定座標軸的名稱.
例2、如圖，在空間幾何體中，平面acd⊥平面abc，ab＝bc＝ca＝da＝dc＝be＝與平面abc所成的角為60°，且點e在平面abc內的射影落在∠abc的平分線上．
(1)求證：de∥平面abc；
(2)求二面角ebca的余弦值．
專題訓練
1.如圖所示，在多面體abcd－a1b1c1d1中，上、下兩個底面a1b1c1d1和abcd互相平行，且都是正方形，dd1⊥底面abcd，ab∥a1b1，ab＝2a1b1＝2dd1＝2a.
(1)求異面直線ab1與dd1所成角的余弦值；
(2)已知f是ad的中點，求證：fb1⊥平面bcc1b1.
3．如圖(1)，四邊形abcd中，e是bc的中點，db＝2，dc＝1，bc＝，ab＝ad＝.將圖(1)沿直線bd折起，使得二面角abdc為60°，如圖(2)．
(1)求證：ae⊥平面bdc；
(2)求直線ac與平面abd所成角的余弦值．
4．如圖所示，在矩形abcd中，ab＝3，ad＝6，bd是對角線，過點a作ae⊥bd，垂足為o，交cd於e，以ae為摺痕將△ade向上折起，使點d到點p的位置，且pb＝.
(1)求證：po⊥平面abce；
(2)求二面角eapb的余弦值．
5.如圖，在四稜錐pabcd中，側面pad⊥底面abcd，側稜pa＝pd＝，pa⊥pd，底面abcd為直角梯形，其中bc∥ad，ab⊥ad，ab＝bc＝1，o為ad中點．
(1)求直線pb與平面poc所成角的余弦值；
(2)求b點到平面pcd的距離；
(3)線段pd上是否存在一點q，使得二面角qacd的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
6．如圖，在四稜錐sabcd中，底面abcd是直角梯形，側稜sa⊥底面abcd，ab垂直於ad和bc，sa＝ab＝bc＝2，ad＝是稜sb的中點．
(1)求證：am∥平面scd；
(2)求平面scd與平面sab所成二面角的余弦值；
(3)設點n是直線cd上的動點，mn與平面sab所成的角為θ，求sin θ的最大值．
7、如圖，四邊形abef和四邊形abcd均是直角梯形，∠fab＝∠dab＝90°，af＝ab＝bc＝2，ad＝1，fa⊥cd.
(1)證明：在平面bce上，一定存在過點c的直線l與直線df平行；
(2)求二面角fcda的余弦值．
8、.如圖，在四稜錐pabcd中，pd⊥平面abcd，四邊形abcd是菱形，ac＝2，bd＝2，e是pb上任意一點．
(1)求證：ac⊥de；
(2)已知二面角apbd的余弦值為，若e為pb的中點，求ec與平面pab所成角的正弦值．
9、如圖1，a，d分別是矩形a1bcd1上的點，ab＝2aa1＝2ad＝2，dc＝2dd1，把四邊形a1add1沿ad摺疊，使其與平面abcd垂直，如圖2所示，連線a1b，d1c得幾何體aba1dcd1.
用向量法解立體幾何問題
高考要求 向量作為高中教材新增內容，以其獨特的數形結合和座標運算，使之成為廣泛應用工具，但今後幾年將有淡化的趨勢 一 兩點解讀 重點 1 求異面直線的夾角 2 求直線與平面所成的角 3 求二面角的大小 4 求點到面的距離 難點 求二面角時，對二面角是銳角或鈍角的判斷 二 課前訓練 1 在正方體中，下...
用向量方法解立體幾何題練習 學生用
1.2009北京卷理 本小題共14分 如圖，四稜錐的底面是正方形，點e在稜pb上.求證 平面 當且e為pb的中點時，求ae與 平面pdb所成的角的大小.2.2009全國卷 理 本小題滿分12分 如圖，直三稜柱abc a1b1c1中，ab ac,d e分別為aa1 b1c的中點，de 平面bcc1 證...
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....