用傳統的方法解立體幾何需要煩瑣的分析、複雜的計算。而用向量法解題思路清晰、過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果。
一. 證明兩直線平行
已知兩直線和, ,則存在唯一的實數使
二. 證明直線和平面平行
1.已知直線且三點不共線，則∥存在有序實數對使
2.已知直線和平面
的法向量,則∥
例1：如圖，在直三稜柱中，、分別是、的中點，點在上，。 求證：
（1）ef∥平面abc
（2）平面平面.
三.證明兩個平面平行
已知兩個不重合平面,法向量分別為,則∥
四．證明兩直線垂直
已知直線。，則
五.證明直線和平面垂直
已知直線，且a、b,面的法向量為,則
例1：如圖，在三稜錐中，底面，點，分別在稜上，且
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；
（ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？並說明理由.
六.證明兩個平面垂直
已知兩個平面,兩個平面的法向量分別為,則
例1：如圖，四稜錐的底面是正方形，，點e在稜pb上.
（ⅰ）求證：平面
（ⅱ）當且e為pb的中點時，求ae與
平面pdb所成的角的大小.
七．求兩異面直線所成的角
已知兩異面直線，，則異面直線所成的角為：
八．求直線和平面所成的角
已知a,b為直線上任意兩點，為平面的法向量，則和平面所成的角為:
1． 當時
2． 當時
例、已知點h在正方體的對角線上，∠hda=．
（ⅰ）求dh與所成角的大小；
（ⅱ）求dh與平面所成角的大小．
九．求二面角
1．已知二面角，且，則二面角的平面角的大小為：
2.已知二面角分別為面的法向量，則二面角的平面角的大小與兩個法向量所成的角相等或互補。即
注:如何判斷二面角的平面角和法向量所成的角的關係。
(1)通過觀察二面角銳角還是鈍角,再由法向量的成的角求之。
(2)通過觀察法向量的方向,判斷法向量所成的角與二面角的平面角相等還是互補。
例1：如圖，四稜錐中，底面為矩形，底面， ，點m在側稜上，=60°
（i）證明：m在側稜的中點
（ii）求二面角的大小。
例2.如圖，正四稜柱中，，點在上且．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求二面角的大小．
十.求兩條異面直線的距離
已知兩條異面直線,是與兩直線都垂直的向量,則兩條異面直線的距離
十一.求點到面的距離
已知平面和點a,b且,為平面的法向量,則點a到平面的距離
1.如圖，直四稜柱abcd—a1b1c1d1的高為3，底面是邊長為4，
且∠dab=60°的菱形，ac∩bd=o，a1c1∩b1d1=o1，
e是o1a的中點.
（1）求二面角o1－bc－d的大小；
（2）求點e到平面o1bc的距離.
用向量法解立體幾何問題
高考要求 向量作為高中教材新增內容，以其獨特的數形結合和座標運算，使之成為廣泛應用工具，但今後幾年將有淡化的趨勢 一 兩點解讀 重點 1 求異面直線的夾角 2 求直線與平面所成的角 3 求二面角的大小 4 求點到面的距離 難點 求二面角時，對二面角是銳角或鈍角的判斷 二 課前訓練 1 在正方體中，下...
向量法解立體幾何題的總結
一 基本工具 1.數量積2.射影公式 向量在上的射影為 3.直線的法向量為，方向向量為 4.平面的法向量 略 二 考點及對策 高考題主要圍繞點線面體之間的關係與度量展開，具體如下 1.關係 1.1平行關係 1.1.1線線平行兩線的方向向量平行 1.1.2線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1.1.3...
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....