數學教研組羅樹鋒
人教版的新教材在引入空間向量後使原本較為複雜的幾何問題得到了不少簡化，特別是向量幾何中的乙個重要的工具——法向量引入，更使得許多原本複雜難繁的題變得簡單易解，筆者通過日常教學活動中接觸到的例子，進行了歸納和總結，將法向量的應用歸結為以下幾種。
法向量定義：與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。
一：利用法向量求線面所成角
按照定義，我們只需在乙個平面內找出兩不共線向量，利用垂直向量的數量積等於零易求出乙個平面的法向量。由於向量的方向性，我們求出來的法向量與斜線的方向向量所成的角是線面所成角的餘角（或補角）是線面所成角的餘角。並且角的大小只與法向量的方向有關，與其模無關。
設為平面的斜線的方向向量，為平面的法向量，則斜線與平面所面角的正弦值（證略）。
例1： 在矩形中，已知平面，且，求與平面所成角的正弦值。
解：如圖建立空間直角座標系，則各點座標分別為
，則，設平面的法向量為，則，不妨取，則。所以與平面所成角的正弦值為
此題利用法向量和斜線所成的角與斜線與平面所成的角的關係將題中很難作出的線面角迴避，從而降低了解題難度，對學生來說也是比較容易接受的。
二、利用法向量求解麵麵所成角及探索性問題
麵麵所成的角既二面角一直是高中立體幾何的重點和難點，在歷年的高考中也不乏其身影。傳統的方法在解這種題型的時候的繁瑣是可想而知的，而探索性問題是在引入九b教材後興起的一種新的題型，對學生的認知水平的要求比較高，而引入法向量後，一切便迎刃而解了。
已知兩平面垂足分別是,過作,交於,連，易證，四點共面就是二面角的平面角，又四點共圓，則與互補。因為向量是有方向的，如果以為法向量求出來的角與二面角互補，而以為法向量求出來的角與二面角相等。那麼如果預先能判斷二面角是銳二面角或是鈍二面角，在解題過程中無論到何種方向作為法向量，只需求出法向量夾角的絕對值再根據需要來選取我們要的值既可。
易知：如果在二面角的乙個半平面內存在乙個不在交線上的點在另乙個半平面內的射影位置，如果在另乙個半平面內則二面角為銳二面角，如果在另乙個半平面外則為鈍二面角，如果在交線上則為直二面角。
例2：如圖所示，分別是正方體的稜上的點，（1）若，求證：無論點在上如何移動，總有。
（2）若，且平面，求二面角的大小。
（3）稜上是否存在這樣的點，使得平面平面，證明你的結論。
證明：（1）略。
（2）如圖建立座標系，點m，點m在面上的射影是點b，則二面角為銳二面角。又面，，則即為平面的法向量，為平面的法向量。，則，又二面角為銳二面角，所以二面角的大小為。
（3）設正方體的稜長為，為面的法向量，假設點存在，則設，，，設面的法向量為，則
，即法向量，不妨取，若存在點，使得平面平面，則此兩平面的法向量互相垂直，即，所以當為線段的中點的時候，平面平面。
此題如果用傳統解法來求平面角的話，對空間想象能力的要求非常高，而且對運算能力的要求也不低，特別是對於第三小題型的探索性問題，如果不是利用法向量進行解答的話，難度會增大不少，而應用法向量就好比提出了乙個固定的程式來解決比較抽象多變的問題，以不變應萬變。
三：利用法向量求空間點到平面的距離
空間點到平面的距離大多出現在求錐體體積的題型之中，在傳統的解法裡我們通常採用等積變形來進行求解，但是有時候很難找出體積相等的兩個幾何體來，這時候就要應用到法向量來進行求解。
設為麵外一點，在內的射影為，則為點到面的距離，設，則，又，設的方向向量為，即為的法向量，則
例3：已知正四稜柱的底面邊長為，，為的中點，為中點，，求三稜錐的體積。
解：如圖建立空間直角座標系，各點座標分別為，則，，，
，則，，設平面的法向量為，易得，，，
三稜錐的體積為4。
此題將傳統方法中常用的等積變形等方法摒棄，另闢奚徑，利用法向量來求解點到面的距離，降低了題目難度，提高了解題正確率，簡化了運算，並且使學習者從複雜的空間想像中解脫出來。
四、空間異面直線的距離
空間向量在立體幾何中的應用
空間向量與立體幾何 解法步驟 利用空間向量解決立體幾何問題的 三部曲 1 向量表示 把立體幾何問題中的點 直線 平面等元素用空間向量表示 2 向量運算 針對立體幾何問題，進行空間向量運算 3 回歸幾何 把空間向量運算結果回歸幾何意義 理論依據 直線a,b的方向向量分別為,平面的法向量分別為。1 兩異...
立體幾何中的向量方法
空間向量的數乘運算 了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法 理解共線向量定理及其推論 掌握空間直線的向量引數方程 會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題 教學重點 空間直線 平面的向量引數方程及線段中點的向量公式 教學過程 一複習引入 1.回顧平面向量向量知識 平行向量或共線向量？怎樣判定向量與...
空間向量在立體幾何中的應用二
1 異面直線所成的角 定義 把異面直線平移到乙個平面內，這時兩條直線的夾角 銳角或直角 叫做兩異面直線所成的角。異面直線所成的角的範圍是 如果兩異面直線，它們的方向向量分別是，那麼異面直線所成的角滿足 例 如圖，四稜錐s abcd的高so 3，底面是邊長為2，abc 60的菱形，o為底面中心，e，f...