２０ｌ０年第ｌ１期
總第１９２＿｝｝｝ｊ經典案例
用向量法解代數問題
宋文銘（東營市勝利第二中學，山東
東營２５７０５１）
向量是一種工具，它與其它數學分支的聯絡十分密切，應用非常廣泛。兼具代數和幾何的兩重性，是代數和幾何的
證明：構造向量由得完美結合，尤其是在解決代數問題時具有獨到的優勢，解題的關鍵在於觀察問題的結構，挖掘代數結構的向量模型，把原有問題轉化為向量問題，再借助向量有關知識解決問
題。以下簡要分析向量法在幾個方面的應用：一、
求最值１．求函式麗
的最小值。
解：函式的定義域為ｒ。原函式可化為二ｔ ＿（＝＿１。設一１），因為ｌａ—ｂｌ≤ｌａ
ｉ＋ｌｂｌ，所以２ｘ／＇２－一≤ｙ，即ｙ＝ｘ／ｘ￣２ｘ＋一的最小值
為２、／。
注：ｌａｔ一函在求距離之和（差）的最值，不
等式證明中很有用，但應注意等號成立的條件。另外，在構造向量求最值時，一定要調整好向量中座標的符號，保證在運算時只保留常數。
２．求函式二的最大值。
解：函式的定義域為【１，ｌ０］，設一１，
、／），因為雲ｉ≤ ．ｉｆ，ｉ，所以
ｘ／ｕ－￣
一＝３，當且僅當５、仃＝、／ｌ０－ｘ，
即ｘ＝３５∈【１，
ｌｏ］ｈ￣取等號，故函式ｙ＝５、／ 二的
，ｎ最大值為３、／注：雲ｌ≤ｉ也常用來求最值，證明不等式，等號成
立的條件為兩向量的夾角為０。。
３．已知求ｘ＋ｙ＋ｚ的最小值。
解：設則由得
＋３２＿
２＋，所以ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥
，即 ＋ｙ２＋ ｚ的最小值為６ｌ。
二、證明不等式
４．設ａ、ｂ．ｃ．ｄ均為正數，求證、／
＋ｖ￣ｒ－＋ｄｓ一≥
注：雖然證明不等式的方法很多，但某些含有乘方之和或乘方之積的不等式，應用向量證明效果更顯著。本題條件ａ、ｂ、ｃ、ｄ均為正數改為實數所證不等式也成立。利用ｉｍｌ＋ｌｎ
ｉ≥ｉｍ±ｎｌ還可以推出
，、／．．．＋
。５．若ａ＋ｈ＋ｃ：１，求證
。證明：構造向量貝於是由
有３、／麗≥ 一，得
６．設ａ，ｂ為不等的正數，求證
證明：構造向量則
：因為ａ，ｂ為不相等的正數，所以 ≠
ｎ．即０≠０，，所以
三、求值
７．設且
＋ｃｚ：３０。求型：旦± 的值。
ｘ＋ｙ＋ｚ
解：構造則已知條件化為
即（一ｎ）ｃ－－ｏ，於是ａ：５ ｘ，
ｂ＝ｙ，ｃ：ｚ，所以
ａ＋ｂ＋ｃ５一ｘ
＋ｙ＋ｚ一—６—。注：構造向量時，將所有條件聯絡起來是難點。
８．已知一手，０），且滿足ｃ。ｓａ－ｓｉｎｂ
求ａ和ｂ的值。
解：因為所以
。１２３
新校吲理論版
設雲則ｉ．雲而，
經典案例
ｘ＞ｏ。
且≤ｊ設三：（ｘ，ｖ丁與的夾角為
ｏｌ，則由得
ｆｉｆ，所以整理得（ｓｉｎｂ十吉）≤０，
ｖｘｚ￣４－ｘ：：
ｃｏｓｄ＝４。
一二即ｓｉｎｂ一 ，由ｂ∈（一—＂ｉｔ，０），得ｂ一 ＂ｉｔ。代人原式得ａ＝
所以、／ｌ１＿
一ｃｏｓ：１，因為０≤、／１＿丌二
＿ｌｌ二
≤１，ｓ
ｃｏｓｄ≤１，所以、．
四、解方程
＝１，即ｘ＝１或ｘ－－一１（捨去），所以
原方程的解為ｘ＝ｌ。
＋、／丁ｘ、／＿４二ｘ２＝４。
向量作為一種工具在數學方面的應用是非常之廣泛的，我們只有不斷積累、不斷總結，才能充分挖掘和發揮向量法的應用價值，才能讓向量法作用發揮得淋漓盡致。
９．解方程ｘ、／再
解：要使方程有意義，須一、／丁≤ｘ≤｝、／丁，且
（上接第１５頁）歌唱》中談到這樣一段人生經歷：「在一次獨句名言。它告訴我們**從誕生之日起就是為人類精神服務的，其欣賞過程就是欣賞者自身情感體驗的過程，就是情感的共鳴。
聲樂作品欣賞，作為**欣賞的一種，其欣賞過程和**作品欣賞一樣，不僅僅是對節奏、力度、旋律、和聲、歌詞的把握，更重要的是，它是欣賞者情感體驗的過程，是欣賞者情感被感染的過程。
保羅埃克曼和他的同事們對人的自身和周圍的人的情
唱**會上我演唱了《王貴是個好後生》這首歌，唱後觀眾的反應並不好。由於大家的幫助，我自己認真做了分析，終於認識到是因為我在演唱這首歌時僅僅關心自己的聲音，對歌曲
的思想，**的靈魂（情感），語言和風格等，全然拋在一邊不顧，當然就唱不好這首歌了。」她的這次體驗進一步說明了，
如果歌唱家在表演時僅僅侷限於對聲音和技術的追求，而全然不顧自身情感的激發和投入的話，無論他的技術有多麼完
美，這樣的歌唱都是冷漠的，蒼白的，都不可能表現出歌曲的思想情感，更不用提以情感人了。可見，聲樂表演不僅僅侷限於聲音的表演，它更是情感的表現，是歌唱家內心深層的情感體驗，是自身情感激發的過程，表現的過程，是情感藝術。
２．聲樂表演是表達情感的藝術
從巨集觀意義上說，**表演的目的就是要賦予無生命的**形式以生命的活力，就是要給人以人性的體驗，也就是說，**表演的根本任務就是**作品的情感表現。那麼從聲樂表演這種**表演形式上看，其表演的目的也是要賦予
感表達效率問題進行了實驗，他發現：只要將面部肌肉扭曲做愉快、悲哀、憤怒等形式，就能在通常伴隨那些情緒的神經
系統中產生直接的效果，同時人們常常會不自覺地模仿他們周圍的人的情緒表達，結果在他們的神經系統中也會引起類似的效果。「當你微笑時，整個世界都在微笑。」這一研究成果告訴人們，人的情感是可以互遞的，而這個互遞的中間媒介恰恰就是情感自身。
這一理論的問世使人們進一步認識到，歌唱表演者如果想打動別人，其手段只有乙個，那就是真情的投入。而聽眾作為**作品的欣賞者，其欣賞過程就是情
聲樂作品以鮮活的「生命」（聲樂作品的情感），並用這種「生命」感染他人。聲樂表演是表達作品情感的藝術，是情感藝
術。感受感染的過程，就是與歌唱者情感的共鳴。它必然導致歌唱者如果能「聲情並茂」地演繹富於情感的歌曲，那麼聽眾的心情就會不由自主地舒暢、樂觀起來；反之，如果歌唱者演繹悲傷的歌曲，聽眾則會觸景生情地流下同情的眼淚。
可見，聽眾對聲樂表演的欣賞過程就是情感體驗的過程，就是與表演者情感產生共鳴的過程，就是情感受感染的過程，就是情感
藝術。聲樂表演作為情感真實流露的過程，其目的就是為了表現聲樂作品承載的情感，儘管這種情感賦予表演者自身的個性。反之，情感又貫穿著表演的全過程，表演過程即是演員情感自我體驗的過程。
所以說．聲樂表演是情感真實流露的過程，是表達情感的藝術。
三、聽眾作為聲樂作品的欣賞者，其欣賞過程是情感被
感染的過程
綜上所述，情感貫穿在聲樂藝術中，是聲樂的主宰者，是聲樂的靈魂，維繫著聲樂藝術的全過程。情感凝聚在聲樂藝術中，聲樂就是情感藝術。
「**應當使人類的精神進發出火花。」這是貝多芬的一
１２４－新校園下旬兩
用向量法解立體幾何問題
高考要求 向量作為高中教材新增內容，以其獨特的數形結合和座標運算，使之成為廣泛應用工具，但今後幾年將有淡化的趨勢 一 兩點解讀 重點 1 求異面直線的夾角 2 求直線與平面所成的角 3 求二面角的大小 4 求點到面的距離 難點 求二面角時，對二面角是銳角或鈍角的判斷 二 課前訓練 1 在正方體中，下...
向量法解立體幾何
用傳統的方法解立體幾何需要煩瑣的分析 複雜的計算。而用向量法解題思路清晰 過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果。一.證明兩直線平行 已知兩直線和,則存在唯一的實數使 二.證明直線和平面平行 1.已知直線且三點不共線，則 存在有序實數對使 2.已知直線和平面 的法向量,則 ...
用點差法解圓錐曲線問題
與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是 聯立直線和圓錐曲線的方程，借助於一元二次方程的根的判別式 根與係數的關係 中點座標公式及引數法求解。若設直線與圓錐曲線的交點 弦的端點 座標為 將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到乙個與弦...