第３２卷第１期井岡山大學學報（自然科學版）
２０１１年
１月ｊａｎ．２０１１
文章編號
三值命題邏輯中公式的概率真度
於西昌 ，譚桂梅２
（１．聊城職業技術學院，山東，聊城
２５２０００：２．聊城大學圖書館，山東，聊城
２５２０５９）
摘要：將三值命題邏輯系統的真度概念引入到概率邏輯，定義公式的期望，給出反映公式之間內在聯絡的相關係
數，研究無限公式收斂時所遵循的規律及特點，引入度量不確定性的特徵值—嫡．關鍵詞：概率真度；數學期望；相關係數；熵中圖分類號：ｏ１４１．１
文獻標識碼：ａ
』０ 引言
研究的命題邏輯。文［８ｉｎ用勢為２的均勻概率空間的無窮乘積在經典二值命題邏輯中引入了公式的眾所周知，數理邏輯是以符號化為特點的形式真度概念，實際上它是研究二值命題邏輯公式的真化理論，它注重形式推理而不重視數值計算【】］。而度，沒有研究公式間的關係及相互影響。
文［９］利用測數值計算則與此相反，它的目的在於借助各種計算度空間在二值命題邏輯中，提出了具有明顯數值特手段採用插值、迭代、差分或概率估算等方法研究徵的公式的真度概念，與文［１０］中真度的定義等價，
各類計算問題，它關注問題的求解以及誤差估計等但也沒有利用真度的概念研究命題邏輯中公式之而很少使用形式推理方法。可以說數理邏輯與數值間內在的聯絡。文［１１］只對二值問題進行了研究。
計算相距甚遠。
本文的思想是將三值命題邏輯中真度的概念文［６－８］都採用了將概率方法引入數理邏輯的引入到概率邏輯之中，定義公式的期望，給出反映公思想。文［６］重點研究了計量命題邏輯，將計量邏輯學式之間內在聯絡的相關係數，研究無限公式收斂時
與概率邏輯學有機的結合起來，它是利用概率方法
所遵循的規律及特點，證明大數定理，引入度量不確
收稿日期修改日期
**專案：教育部科學技術研究重點專案（２０６０８９）作者簡介：於西￣（１９７０一），男，山東聊城人，副教授，主要從事模糊邏輯、數理邏輯研究
譚桂梅（１９７０一），女，山東聊城人，講師，主要從事數理邏輯、哲學邏輯研究
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定性的特徵值一熵並得到一些重要性質，為三值命題邏輯的程度化提供了一種新的方法，同時也為計
量邏輯、命題邏輯及資訊學提供了理論依據和應用基礎。
１預備知識
設為原子公式之集，ｆ（ｓ）是由
ｓ生成的（－１，ｖ，）型自由代數，即ｆ（ｓ）是三值
簡記為厶）命題邏輯中全體公式之集，這裡＿１是ｆ（）上的一元運算，ｖ與是ｆ（ｓ）上的二元運算，並規定：ｖｘ，ｙ，＝１一ｘ，ｖｙ＝
一ｘ＋ｙ）＾１，貝０５３成為（，ｖ，）型代數。設ｕ：ｆ（ｓ）
為（＿１，ｖ，）
型同態，則稱ｕ為ｆ（ｓ）的賦值對映
為公式的賦值，ｆ（ｓ）的賦值對映的全體記為ｑ。
不妨設ｌ３＝｛０，去，１｝，若ａ（ｐ 一，ｐ）是三值
命題邏輯系統中含有個原子命題的合式公式，對於ｐ 一，ｐ 的某些賦值的賦值等於１，上述賦值
的個數用函式表示就是 ～（１）ｉ。同理若的賦值
等於ｏ，賦值的個數用函式表示就是 ～（０）ｌ』又因
ｐ 一，ｐ 的各種賦值的總數就是維０一 １—１向量
的總數，共有３ 個。
定理１．１嘲ａ（ｐ 一，ｐ ）是ｆ（）中含有原
子公式ｐ 一，ｐ 的公式，（，￣ｏｏｘｎ）是所誘導
的函式）：薯
））為公式在，ｚ值系統中的真度。
定義１．１設是三值命題邏輯系統厶中含有原子命題的合式公式，則公式的概率
真度）的定義為喜擊）ｉ，簡記為：
定義１．２
設則（ｉ）ａ是重言式當且僅當）＝ｌ。（ｉｉ）ａ是矛盾式當且僅當
ｆ０，ｕ（）＝０
１１，ｕ（）：ｌ，或。（）：。
命題１設盧∈［０，１］，則
（ｉ）（ｍｐ規貝ｕ）若ｆ（），ｖ（ｂ）≥盧，貝０
（）＋盧－１。
（ｉｉ）（ｍｐ規則）若盧，
則 （ｃ）＋盧一１。
（ｉｉｉ）（交推理規則）若 （ｂ）≥ ，
ｃ）盧，則 （ｂａｃ）＋ 一１。
推論１．１設 ，ｂ∈ｆ（），，則
（ｉ）若ｉ—ａ—ｂ，貝０ｖ（ａ）（）。
（ｉｉ）若ａ≈ｂ，則ｖ（ａ）＝ （）。
一 （人ｂ）。特另０地，當與ｂ邏輯不相容時，（ｖｂ）＝ｆ（）十 （）。
（ｉｖ）（）＝１一ｖ（ａ）。
定理１．２設是ｒ一推論，且存在從ｒ到ｂ的長度為ｎ的推演，則－ｒ（ｂ）
（一１）＋１，這裡是ｆｉｂｏｎａｃｃｉ數列的第，ｚ
項。定理１．３［ｆ（）中的全體公式的真度之集
在｛０，ｌ｝中稠密。
定理１．４設屍（）｝為全體公
式之集，則
ｈ：｛２
條件概率真度
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基於概率的思想，在三值命題邏輯系統中引入
命題２．１，命題２．２的證明可參考文獻［７］。
條件概率真度的概念。定理２．２設則
定理２．１㈣設 ∈ｆ（），資訊∑＝｛，，…，｝，
當且僅當當且僅當當且僅當
令若 （ｒ）＞０，則公式ａ在信
ｍ斛簸ｉ。
特別地，（ｉ）當∑只含有乙個公式ｂ時，公式ａ在信
證明（ｉ）由 （ｉ）＝三會＝（），得（）＝
息∑下的條件概率真度為
ｆｒ１（ｉｉ）當ａ與ｂ獨立
例１設一，（）：１一（）。
例２設則（ｉ）（
＝＝＝例３設
則：１。』（）
ｔ（）命題２．１設
若ｒ（ｒ）＞０，則
（ｉ）若
（ｉｉ）若
一特別地，當
與邏輯不相容時，
一ｖ（ａｉｐ）。
命題２．２ 設
，盧∈［０，１］，若ｒ（ｒ）＞０，則
（ｉ）若則 （ｂｉｒ）
＋８—１。
（ｉｉ）若則
盧一１。
（ｉｉｉ）若則盧一１。
ｔ（ｂａａ）ｆ—
：（ｂｉａ）；反之也然。
（ｉｉ）由ｆ（ｉ）＝三（）ｂ
及 （ｉ。）＞（），得所以—
，，即（）（）
反之也然。
（ｉｉｉ）（略）。方法同（ｉｉ）。
定義２．１設則
（ｉ）ａ和ｂ是獨立的，如果 （ｉ）＝ｒ（ａ）
（ｉｉ）ａ和ｂ是正依賴的，如果 （ｌ）＞ｒ（ａ）
（ｉｉｉ）ａ和ｂ是負依賴的，如果
定理２．３（乘法公式）設
則證明由定理２．１可知。
定理２．４（一般乘法公式）設ａ∈屍（ ），資訊
令若（ｒ）＞０，貝證明
由於由定理２．１及定理２．３
知ｆ１．三！
！…．：：：！：
一證畢。
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３概率真度的期望
概率邏輯學是在有限多個「狀態描述」構成的
（ｉｉｉ）（略）。（ｉ）（ｉｉ）可得。
集合上給出概率分布，從而得出每個命題所對應的概率ｐ，這個概率ｐ就反映該命題的可信度，值
得注意的是上述概率分布是建立乙個有限集合上，
而且是任意的。命題邏輯中的每個命題 ，它是由命
（題ａ自身的結構所完全決定的，因而是內蘊的，不存蚓 ～（～（
在任意性。現在的問題就是將內蘊的東西放在有限集合的任意性中去研究，從而發現問題的規律性及
特點。有了三值命題邏輯系統厶及公式ａ的概率真
度和基於資訊∑的條件概率真度，那麼作為邏輯系統中的乙個公式 ，在模糊控制或數值計算中要經常被呼叫，甚至呼叫的次數還比較大，這必將出現
一定的規律，也是操作者或研究者應十分重視的問題。
為進一步考查公式取值的集中程度，引入了概
率真度數學期望概念，並得到了一些性質．數學期望值越小，公式取值越集中：反之越分散。
定義３．１設 （，…，）是三值命題邏輯系統厶中含有
個原子命題的合式公式，則稱
ｅ（ａ）＝一 （）］為公式的概率真度的數學期
望。命題貝０
（ｉ）若ｃ（ｏ ｃ １）為常數，則ｆ（）＝ｃ。
（ｉｉ）若ｋ是乙個常數，則 （五 ）＝ （）。
或ｉ＝ｌ
ｉ＝１（ｖ）如果４，，…，是相互獨立的，則
證明（ｉ）常數ｃ可以看作公式的乙個特例，它只取乙個值，所以 （）＝ｃ。
（ｉｉ）ｆ（）＝（七
（ｖ）顯然成立。例求
解顯然，ｅ（）＝１
雲。命題則
（ｉ）若對應的真值函式取常數ｃ，則若ｋ為常數若 ，ｃ為常數，則一 （）。
（ｖ）當ａ，ｂ相互獨立時若ａ，ｂ邏輯不相容時
證明一 （）］＝ｚ［ｋａ一幻（）】＝
（ｉｉｉ）（略）。由（ｉ）（ｉｉ）可得。
一ｒ（ａ ）一一ｆ （）。
（ｖ）由 （），ｅ（ａ）的定義及命題３．２、命題３．３顯然成立。
一ｔ２（＋ ）＝
一一一定理３．１ｉ￣ａ（ｐ 一，ｐ ）∈ｆ（），在三值命題邏輯系統厶中公式的概率真度ｒ（ａ）及期望
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（）存在，對於任意給定的￡＞０，則
屍（（）ｌ￡）掣。
證明因設一（），則
（）＝ （一 （））＝，（卜 √＋（）鬥ａ√可 ＋
ｍ２（）＋√（卜一
所以））１，。
令￡＝ａｅｘ［￣，有ｐ（ａ ）ｉ＞￡）
。這個切比謝夫不等式的另一種形式為：
ｐ（（）ｌ＜￡）
。從以上不等式可以看出，若ｅ（）越小，則集
中在 （）附近的可能性越大，由此可以看出，ｅ（）
的意義在於它刻劃了的分散程度。
４協期望及相關係數
有了公式的概率真度及期望的概念，還不能更好地說明公式之間的相互關係及內在影響，為此引入協期望及相關係數的概念。
定義４．１設ａ，ｂ是二值命題邏輯系統ｌ２中含有
個原子命題的合式公式，稱一
（））一 （））］為ａ，ｂ的協期望，記為
一定理４．１設ａ，ｂ∈ｆ（），則ｃｏｅ（ａ，ｂ）＝
ｒ（ａａ ）一 （（）。
證明一一一一 （）（曰）。
注１當ａ，ｂ相互獨立時
推論４．１ｅ（＋ｂ）：一ｆ（）］＋ ［一ｆ（）］＋
２ｃｏｅ（ａ，）。
證明一 （＋ ）］＝（一
一一 （））。證畢。
命題４．１設口，ｂ為常數，則
證明（略）。
定義４．２設 ，∈ｆ（），稱ｐ：．或
［ａ－ｖ（ａ）一關
係數。命題４．２設ａ，ｂ∈ｆ（），則
（ｉ）ｌｐｉ１。
（ｉｉ）ａ，ｂ獨立時，ｉｐｌ＝０。
（ｉｉｉ）若ｂ＝口 ＋ｂ，即與ｂ線性相關，就是
ｌｐｉ＝１。
證明（）＋ｅ（ｂ）一
２ｔｃｄｅ（，），令 ：—ｃｏｅ（ａ，
ｂ）—，
則上式為：
丘』（）
ｅ（一）＝ｅ（）一＝
（）［１一
（ｉｉ）顯然。
一ｆ（））（ａ ＋６一一由期望的性質知
所以ｐ２
。ｅ（）（）＝旦ａ
『（）＝，故ｌｐｉ
相關係數是衡量公式與ｂ之間線性相關的量。ｐ的值接近±１，表明公式ａ與ｂ之間線性相關程度很高；而ｐ的值接近０，表明公式ａ與ｂ之間線性相關程度很差；ｐ的值為正，表明公式ａ增大時
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ｂ也增大；ｐ的值為負，表明公式增大時ｂ也減小．若ｐ＝０，則ａ，ｂ間沒有線性關係，這時就稱 ，ｂ是不相關的或零相關的。
５大數定理
在三值命題邏輯系統厶中，合式公式可能是有
限的，也可能是無限的，為研究邏輯系統中的無限公式的收斂情況，採取極限的方法，即研究公式值收斂於單點的分布，稱之為大數定理．大數定理不但在數
理邏輯中具有深刻的內容，而且為資訊統計提供了有力的理論根據．
定理５．１（弱大數定理）設
一，ｐ ），…是三值命題邏輯系統
中含有，ｚ個原子命題的合式公式，且
，則對任意￡＞０，有
ｌｉｍｐ
ｌ喜一ｉ≥￡＝。。
證明由切比謝夫不等式知，對任意的￡＞０，有
掂料ｎｅ２，即｛一ｉ＞￡）魯。
於是ｌｉｍ ｛一…
／９ ｉ＝ｉ
一ｏｏ推論５．１ｌｎ－ｉ一
－ｍｐ｛
－－ｙｏ￣
ｌ！９一，－
ｌｌ＜ｓ）＝１ｑ
定理５．１（強大數定理）設ａｔ（ｐ 一，ｐ ），
（ｐ 一一，ｐ ）是三值命題邏輯系統中含有
原子命題的合式公式，且
則對任意￡＞０，有
ｐ｛ｌ…
ｉｍｌ￣－）＝。
大數定理說明在三值邏輯系統中，合式公式取
值的平均值接近概率真度（或概率真度）的平均值，這是比較合理。
例５設ａ∈ｆ（），資訊若對所有進行賦值後其平均值為
試求公式賦值在０．５２與０，９２之間的概率。解因為
ｐ（一０．２ａ一一ｆ（）ｌｏ．２），
所以ｐ（
（）０）＞ｌ一
＝ １。
６熵在三值命題邏輯系統厶中，公式是我們的研究物件。雖然公式ａ的取值是由自身的結構所完全決
定的，是內蘊的，但公式在模糊控制或數值計算中的
呼叫是頻繁的，假定邏輯系統中的公式呼叫是隨機的，那麼在度量這些公式是否被呼叫時，採用一種度量不確定性的特徵值一熵來度量。
定義６．１設 （，…，ｐ ）是三值命題邏輯系統中含有原子命題的合式公式，如果原子公式０ ｒ—一—３
賦值為一服從以下分布
。一２ 一
ｌ哇、一ｊａ－ｌ一一（１）
３嗍一喜
ｈ喜：一
∑ （）ｌｎｆ（）為公式的熵。
命題６．１設則
的充分必要條件是ａ的概率真度
證明（略）。
例６設是三值命題邏輯系統中含有療個原子命題的合式公式，如果 （４）＝，求
ｈ（ａ）。
解日（）＝一∑ （）ｌｎ（）＝
井岡山大學學報（自然科學版）１９
一ｌｎ：ｌｎ３。
３３３及特點，證明了大數定理，引入了度量不確定性的特徵值一熵並得到一些重要性質，為三值命題邏輯的程度化提供了一種新的方法，同時也為計量邏輯、命
熵的大小在一定的程度上反映公式的不確定性。公式的不確定性越大，熵也就越大；反之，公式
題邏輯及資訊學提供了理論依據和應用基礎。需要說明的是，三值命題邏輯系統是命題邏輯系統中最
的不確定性越大，熵就越小。對於乙個邏輯系統而言，乙個系統越是有序，熵就越低；反之，乙個系統越是混亂，資訊熵就越高。所以，熵也可以說是系統有
簡單、最典型的命題邏輯系統，具有很好的性質及極強的代表性，那麼這種三值命題邏輯程度化的方法序化程度的乙個度量．這說明三值命題邏輯系統厶是有序的良好邏輯系統。
定義６．２設一，ｐ ）是三值命題邏輯系統厶中含有個原子命題的合式公式，
則稱ｉ，）＝一為基於４的條件熵。
條件熵的一般表達形式：
（ｉ）＝一
蚵成ｈ（ｂｉａ喜喜 ｉｎ。
根據對數的性質，條件熵的一般表達形式也可
以改寫為一ｈ（ａ）。
條件熵是資訊理論中資訊熵的一種度量，它表示如果已經完全知道乙個公式的熵的前題下，別乙個公式熵還有多少。也就是基於的的熵，用
ｈ（ｂｉａ１表示。
命題６．２設則
日（ｌ）ｈ（ｂ）。
證明（略）。
７結束語
將三值命題邏輯中真度概念引入到概率邏輯之中，定義了公式的期望，給出了反映公式之間關係的相關係數，研究了無限公式收斂時所遵循的規律
是否可推廣到值命題邏輯系統呢？對此，還有待進行深入**與研究。
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王國俊．數理邏輯引論與歸納原理［ｍ１．２版．北京：科學
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李駿，蘭倩，黎鎖平值命題邏輯中命題的
真度理論［ｊ］＿模糊系統與數學於西昌，胡
凱，張興芳．條件概率真度的相似度及偽
距離［ｊ】．模糊系統與數學ⅲ
命題 邏輯複習講義
第三課時命題 邏輯 一 基本知識點 1.命題 可以判斷真假的語句叫做命題.2.四種命題 1 四種命題的形式 原命題 若p則q 逆命題 若q則p 否命題 若p則q 逆否命題 若q則p.2 四種命題之間的相互關係 這裡，原命題與逆否命題，逆命題與否命題是等價命題.3 注意區分 否命題 與 命題的否定 否...
11 2命題邏輯與條件判斷
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邏輯學第三章命題的判定與自然推理答案
第三章命題的判定與自然推理 一 用符號表示下列各復合命題的真值形式 1 pp。2 pq。3 p q 如以 不 焉 為聯結詞，也可表示為 p q 4 p q。5 p q p q 二 p 為假，pq 為假，pq 為真，p q 為假，pq為假。三 q的取值應為真。四 4 5兩公式取值為t。五 各組公式的真...