在高中試題中我們常常會遇見一些關於直線與直線，直線與圓方程等問題，而這些問題往往可以利用向量的某些性質來加以解決，會更為簡便。
例1． 已知圓o的方程為，和圓上一點p，求過點p的切線方程。
分析：若以圓o的圓心o點建立直角座標系，如圖。
設l上任意一點的座標為（x,y），則有
解：設l上任意一點為（x,y），
因為l是過點p的圓o的切線
所以在解此題時，當我們利用向量方法，使得解題思路更為清晰明了，所以下面我會首先列舉一些向量方法截線性方程問題的基本方法及套路，然後再深入列一些實題。
例2．如圖，求直線l1：的夾角。
分析：l1的斜率為
l2的斜率為
則向量必與l1共線，與l2共線。
設θ為l1，l2所成的角，則
cosθ=
（定義）方向向量：若直線l方程ax+by+c=0，則稱向量為直線l的方向向量。（本文以後都遵從此定義）
解：設兩直線的夾角為θ。
因為l1的方向向量為，l2的方向向量為
所以cosθ=
∠θ=arccos
例3.已知a，b，c三點的座標為，求∠bac的角平分線。
分析：因為∠bat=∠cat
所以可設t為∠bac上任意一點，則：
解：設t為∠bac上任意一點
因為∠bat=∠cat
所以cos∠bat=cos∠cat
所以所以例4. 如圖，三角形abc的頂點a（3，4），b（6，0），c（-5，-2），求∠a的平分線at所在直線的方程。
分析：確定直線at需要兩個獨立條件，由於點a座標已知，故只需要求at的斜率或t點座標，∠a的平分線at有如下性質：
（1）（2）∠cat=∠tab，用其中任何乙個性質均可找出確定直線的第二個條件。
解法一：∵，則ct=2tb
設t（x,y）,則（x+5,y+2）=2(6-x,-y)
即 x+5=2(6-x)
y+2=-2y
解得∴由直線方程的兩點式得at方程為
7x-y-17=0
解法二：因為ab的斜率，ac的斜率
設直線at的斜率為k，則
∵直線ac到at的角等於直線at到ab的角，故
解得k=7，或k=（捨去）
∴所求直線方程為y-4=7(x-3)
即 7x-y-17=0
解法三：設d為直線at上任意一點，則
cos=cos
則即：7x-y-17=0
所以，直線at的方程為7x-y-17=0
評析：三種解法中，一，二種方法為常規解法，但與第三種方法比較，它們過於繁瑣且計算難，而第三種方法思路較為簡單，計算也很方便，所以在解這類直線方程或一些直線與圓錐曲線的問題中充分利用向量的性質來解題是非常簡單有效的。
例5. 已知直線l1與x軸，y軸分別交於p（m+1,0）,q(0,m),m≥1，過p，q分別作直線2x+y=0的垂線，垂足分別為r，s，求四邊形prsq面積的最小值。
分析：根據已知prsq為梯形，sq∥pr
所以此四邊形面積為
解：2x+y=0的方向向量a=(1,-2)
a的垂直向量為b=(2,1)
sq，pr是oq，op在b上的射影，sr是qp在a上的射影
m≥1)
m≥1)
m≥1)
四邊形prsq的面積為
當m=1時，四邊形prsq的面積取得最小值2。
例6. 已知直線l：與橢圓o：相交於p，q兩點，p點橫座標不為0，當一點m滿足條件am=λpq，求當o為座標原點，最小時，求λ的值。
解：由得x=3,y=,或x=0,y=-2
∴∵pm=λpq，∴m點在l上
要使最小，則om⊥pq
=15-27λ
∵∴15-27λ=0，
例7. 已知橢圓方程為，過定點m（0，2）的直線l與橢圓交於不同的兩點a，b，且∠aob為銳角，求直線l的斜率k的範圍。
解：顯然x=0不滿足題設條件，可設l的方程為y=kx+2，設a，b，
聯立解方程組
y=kx+2
得： 得： ∴由
（1）又∠aob為銳角，則cos∠aob>0，則∴又
∴ =
∴ （2）
由（1），（2）可知
所以，k的取值範圍是
點評：此題利用了兩向量夾角為銳角，則數量積大於0這一性質，就是利用了這一性質才把此題的思路變得清晰，解題的方法更是簡單易懂，所以向量的性質在此類線性題目中的應用尤為重要。
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