作者：袁合才程巨集
摘要：筆者利用初等數學方法證明了安振平教師提出的第1、2和15個優美不等式問題的證明.
關鍵詞：優美不等式；初等數學方法
安振平教師在《二十六個優美不等式》中提出了二十六個優美的不等式問題，吸引了大家的興趣，其中第10個和第14個優美不等式已經分別由尚生陳和鄒生書解決了. 本文將給出第1、2和15個優美不等式問題的證明.
第1個優美不等式問題
設a，b，c為正實數，且a≥b≥c，求證：
++≥a+b+c.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖 （1）
證明不等式（1）等價於證明－a+－b≥c－，
等價於證明+≥=+.
因為a≥b≥c，所以≥，≥，
從而≥，≥，因此+≥+=.
於是不等式（1）成立.
第2個優美不等式問題
設a，b，c為正實數，求證：
++≥a+b+c.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖（2）
證明不妨設a≥b≥c，不等式（2）等價於++≥a+b+c，等價於證明++≥a+b+c，
等價於證明－a+－b+－c≥0，
等價於證明++≥0，
等價於證明ab（a2-b2）－+ac（a2-c2）－+bc（b2-c2）－≥0，
即ab+ac+bc≥0.
因為a≥b≥c，，所以上式成立，因此不等式（2）成立.
第15個優美不等式問題
設a，b為正數，n為正整數，求證：
a+b≤a+b≤a+b. （3）
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...