2.5 不等式的證明
一、教學內容分析
有關不等式的證明問題一直是數學中的難點,除一些基本方法外還牽涉到相當多的技巧問題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹,所以教材中也不牽涉過多的技巧問題,主要涉及利用不等式基本性質以及基本不等式來進行證明.
二、教學目標設計
1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路.
2、能利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.
3、在證明的過程中,加強不等式性質及基本不等式的應用.
4、代數證明基本能力的提公升以及邏輯推理水平的進一步加強。
三、教學重點及難點
重點利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.
難點分析法的基本思路及其表達.
四、教學過程設計
一、比較法
比較法有兩種:
(1)比差法:求差與比.
(2)比商法:求商與比,要注意討論分母的符號.
例1 求證:(1).
(2).
證明:(1)因為,
所以,.
(2)因為,
所以,.
[說明]
本例的幾何意義.
(1)的影象在的下方,如圖所示(a點比b點低1個單位).
(2)的影象在的影象上方,如圖所示(a點比b點高).
例2 設,,求證:.(補充)
證明:因為, ,又,,當且僅當時等號成立,
所以,,當且僅當時等號成立.故.
另證:因為,,所以,則
.當且僅當時等號成立.
又, ,故.當且僅當時等號成立.
[說明]
此例採用了比差和比商兩種方法給出證明,由證明過程體會兩種方法各自的「優點」.
二、綜合法
從已知條件出發,利用各種已知的定理和運算性質作為依據,推導出要證的結論.這種證明方法稱為綜合法.
例3 已知、、均為正數,求證:.
證明:因為、、均為正數,由基本不等式2和不等式性質得:
即,.當且僅當時等號成立.
所以,不等式成立.
例4 已知、,求證:.
證明:.當且僅當時等號成立.所以不等式成立.
例5 求證:.
證明:因為,由基本不等式得,
.當且僅當時等號成立.
所以,不等式成立.
[說明]
此例給出了如何利用基本不等式求函式最值的一種方法.
例6 求證:.
證明:一方面,
當且僅當時等號成立.
另一方面,.當且僅當時等號成立.
所以,,當且僅當等號同時成立.
[說明]
利用基本不等式證明此例有一定難度,可適當選用.
三、分析法
從要證的結論出發,經過適當的變形,分析出使這個結論成立的條件,把證明結論轉化為判定這些條件是否成立的問題,如果能夠判定這些條件都成立,那麼就可以斷定原結論成立.這種證明方法稱為分析法.
分析法也可以如下敘述為:
欲證結論,需先證得,
欲要證得,需先證得,
欲要證得,需先證得,
欲要證得,需先證得.
當成立時,若以上步步可逆,則結論成立.用數學語言表述,必須保證下述過程成立:
…,因為成立,所以結論成立.
[說明]
分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由於分析法要求的是步步逆向成立,所以需慎重使用.
例7 求證:.
證明:因為,,則要證成立,
即證成立,
即證成立.
即證成立,即證成立,即證成立.
因為成立,且以上步步可逆,所以,.
例8 已知:,求證:.
證明:要證成立,
即證成立
即證成立,
即證成立,
由成立,且以上步步可逆,故有
.例9 設、,求證:,並指出等號成立的條件.
證:先證「」.
注意到,,則對於任意、,要證成立,
即證成立,
即證成立,
即證成立,
由絕對值定義知,任意、,都有,且以上步步可逆,因而,且等號成立.
再證;「」.
由,,則對於任意、,要證成立,
即證成立,
即證成立,
即證成立,
即證成立,
由絕對值定義知,任意、,都有,且以上步步可逆,因而,且等號成立;
綜上可得,任意、,不等式成立.
例9證明的不等式對任意的實數、成立,以換得到的不等式,即也成立,此時,右端等號成立,左端等號成立.
以上證得的兩個不等式,是絕對值不等式的重要性質,稱之為
三角不等式對於任意、,
(1),左端等號成立,右端等號成立.
(2),左端等號成立,右端等號成立.
[說明]
有關三角不等式的教學是講全還是選講其中部分,可適學生的具體情況而定.
例10 已知,,求證:.
證明:由三角不等式可得:
.所以,.
四、作業布置
選用練習2.4(4)(5)(6)、習題2.3中的部分練習.
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不等式的證明
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