一、基礎知識
1. 不等式證明的基本依據
（1）不等式的性質；
（2）實係數一元二次方程根的判別式；
（3）基本不等式；
（4）函式的單調性
（5）三實數運算的符號法則
2. 不等式證明的基本方法
（1）比較法（差比、商比）；
（2）綜合法；
（3）分析法；
（4）其他方法：①換元法；②放縮法；③反證法。
二、例題分析
【例1】設，求證：（成功132）
【例2】（1）設，求證：
（成功132）
（2）設，求證：
【例3】已知，求證：（成功132）
【例4】，求證：不可能同時大於。（成功133）
【例5】設數列的前項和為，已知，且－
，其中為常數。（2005江蘇）
（1）求的值；
（2）證明數列為等差數列；
（3）證明：不等式對任何整數都成立。（成功133）
三、練習題
（一）、選擇題
1.已知下列不等式：①；②； ③。其中正確的是（ ）（成功135）
a. ① b.①② cd. ①②③。
2.設，且，則有（ ）（成功135）
ab.cd.
3. 某種商品計畫提價，現有四種方案。方案（ⅰ）：
先提價%，再提價%；方案（ⅱ）：先提價%，再提價%；方案（ⅲ）：分兩次提價，每次提價%；方案（ⅳ）：
一次提價%。已知，則四種提價方案中，哪一種提價最多（ ）（成功135）
a. 方案（ⅰ） b. 方案（ⅱ） c. 方案d. 方案（ⅳ）
4. 若實數滿足，其中為常數，則的最大值為（ ）（成功135）
a. b. c. d.
5. 若，，，，則（ ）
a. b. c. d.（天驕82）
6.是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，則有（ ）
a. b.
c. d.（天驕83）
7. 已知，且，，的大小關係是（ ）（天驕83）
a. b. c. d. 不確定
8. 設則有（ ）
a.最大值 ， b. 最小值 c. 最大值 d. 最小值
（二）、填空題
1. 若正數滿足，，則的取值範圍是 .
2. 點是直線上的動點，則代數式的最小值為 .（三尺177）
3. 若，的值的符號為三尺183）
4. 已知， ，則的大小關係是三尺187）
5. 設實數，則的大小關係是三尺187）
6. 已知點為函式的影象上的點，為函式影象上的點，，其中，設，則的大小關係為三尺189）
7.在r上恆成立，則的取值範圍是 .
8. 已知是定義在上的單調函式，實數，，，若，則則下列結論：
①；②；③；④
其中正確是
9. 已知，且都是正數沒，則的最小值為 。
10. 設，且，則的取值範圍是
，則與的大小關係是 。
（三）解答題
1. （1）已知，，求證：，指出等號成立的條件。
（2）利用（1）的結論求函式的最小值，並指出缺的最小值時的值。（試題調研40）。
2. （1）已知求函式的最大值；
（2）已知，且，求的最小值；
（3）已知， ，求，的最大值。（成功142）
3. 設，求證：
4. 已知，求證：
5. 已知，求證
6.，證明 ；
（1）（2） ++
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...