【本講教育資訊】
一、教學內容：
二、學習目標
1、掌握並靈活運用分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．對較複雜的不等式先用
分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。
2、在利用不等式的性質或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。
3、掌握反證法的應用。
三、知識要點
1、比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法證不等式有作差（商）、變形、判斷三個步驟.
比較法的兩種形式：
①比差法：要證a>b，只需證a－b>0。
②比商法：要證a>b且b>0，只需證1。
說明：①作差比較法證明不等式時，通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數的性質進行判斷；
②一般地運用比商法時要考慮正負，尤其是作為除式式子的值必須確定符號；
③證冪指數或乘積不等式時常用比商法，證對數不等式時常用比差法。
2、綜合法：利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要求證的不等式的方法。證明時要注意字母是否為正和等號成立的條件。
基本不等式：（1）若則
當且僅當a=b時取等號。
（2）（3）a,b同號,
3、分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。
要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程,綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關係，可以增加解題思路，開擴視野。
4、反證法：假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立。
【典型例題】
例1、用反證法證明，若，則。
證明：假設不大於，則或
∵∴ 與或
這些都與已知相矛盾，則
例2、設求證
分析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法或比商法證明。
證法一：左邊－右邊=
== =
∴原不等式成立。
證法二：左邊》0，右邊》0。
∴原不等式成立。
思維點撥：用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮法，如證法二。
例3、分析：已知條件很簡單（僅有a≥3），而要證明的無理不等式較複雜，遵循化繁為簡的原則，容易想到用分析法求證。
證法一：
證法二：
小結：分析法是尋求結論成立的充分條件，而不是從結論出發推證已知條件，故證明過程中一定要注意格式，「要證」「只要證」等詞必不可少。在解決有關根式的問題時，「分子有理化」也是常用的技巧。
例4、已知為正數，
若，求的最小值；
（2）若，求證：。
解：（1）∵
∴ 當且僅當時，上式取等號，
所以的最小值為
（2）當且僅當時，上式取等號
例5、已知，求證：。
證法一（綜合法）：
證法二（分析法）：，為了證明，
只需證明 ，
即 ，，，
. 成立，
成立 本講涉及的主要數學思想方法
1、有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法凡是含有「至少」「唯一」或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。
2、證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟、技巧和語言特點。
3、不等式證明還有一些常用的方法換元法、放縮法、反證法、函式單調性法、判別式法、數形結合法等換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。
【模擬試題】（答題時間：60分鐘）
一、選擇題
1. 如果，那麼（ ）
abcd. 以上都不對
2. 用反證法證明：「」，應假設（ ）
abcd.
3、已知，則的大小關係是（ ）
abcd.
4. 實數不全為0的條件是（ ）
a. 均不為0b. 中至少有乙個為0
c. 中至多有乙個為0 d. 中至少有乙個不為0
5. 已知26、設，且，則下列各式中正確的是（ ）
a. b.
c. d.
二、填空題
7、若，那麼這三個數之間的大小順序是
8、若，且，下列不等式其中不成立的是
9、關於x的不等式的解集為r，那麼實數
三、解答題
10、a、b、c為不全相等的實數。求證：。
11、已知。
（1）求證：；
（2）求證：中至少有乙個不小於。
12、已知函式是（－∞，+∞）上的增函式，。
（1）證明：若，則；
（2）判斷（1）中命題的逆命題是否成立，並證明你的結論。
【試題答案】
1. c
2. d
3. a
4. d
5. d
6、d7、8、①②③
9、10. 證明：
11、證明：（1）
（2）假設中至少有乙個不小於不成立，
則都小於，則，而
，這與相矛盾，從而假設不成立，原命題成立，
即中至少有乙個不小於。
12、證明：（1）
又兩式相加，得
（2）假設，
那麼這與已知矛盾，故只有成立，因此逆命題成立。
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...