例1、用數列極限定義證明：
上面的系列式子要想成立，需要第乙個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第乙個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是22；不等號（4）成立的條件是，故取n=max。這樣當n>n時，有n>7，。
因為n>7,所以等號第乙個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為，所以不等式（4）能成立，因此當n>n時，上述系列不等式均成立，亦即當n>n時，。
在這個例題中，大量使用了把乙個數字放大為n或的方法，因此，對於具體的數，可把它放大為kn（k為大於零的常數）的形式
例2、用數列極限定義證明：
不等號（1）成立的條件是,故取n=max,則當n>n時，上面的不等式都成立。
注：對於乙個由若干項組成的代數式，可放大或縮小為這個代數式的一部分。如：
例3、已知，證明數列an的極限是零。
證明：，欲使成立
由不等式解得：，由於上述式子中的等式和不等號（1）對於任意的正整數n都是成立的，因此取，則當n>n時，不等號（2）成立，進而上述系列等式和不等式均成立，所以當n>n時，。
在上面的證明中，設定，而數列極限定義中的是任意的，為什麼要這樣設定？這樣設定是否符合數列極限的定義？
在數列極限定義中，n是乙個正整數，此題如若不設定，則就有可能不是正整數，例如若＝2，則此時n＝－1，故為了符合數列極限的定義，先設定，這樣就能保證n是正整數了。
那麼對於大於1的，是否能找到對應的n？能找到。按照上面已經證明的結論，當＝0.
5時，有對應的n1，當n>n1時，＜0.5成立。因此，當n＞n1時，對於任意的大於1的，下列式子成立：
＜0.5＜1＜，亦即對於所有大於1的，我們都能找到與它相對應的n=n1。因此，在數列極限證明中，可限小。只要對於較小的能找到對應的n，則對於較大的就自然能找到對應的n。
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