證明極限不存在二元函式的極限是高等數學中乙個很重要的內容,因為其定義與一元函式極限的定義有所不同,需要定義域上的點趨於定點時必須以任意方式趨近,所以與之對應的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含引數的方式趨近,代入二元函式,使之變為一元函式求極限.若最後的極限值與引數有關,則說明二重極限不存在.
但在證明這型別的題目時,除了選y=kx這種趨近方式外,許多學生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函式極限不存在的一種簡單方法.例1[1]證明下列極限不存在:
(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對於(1)選擇當(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近於(0,0)時,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.
對於(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近於(0,0),則有l..
2是因為定義域d=嗎，從哪兒入手呢，請高手指點
沿著兩條直線 y=2x
y=-2x 趨於(0,0)時
極限分別為 -3 和 -1/3 不相等
極限存在的定義要求延任何過(0,0)直線求極限時極限都相等
所以極限不存在
3lim (x 和y)趨向於無窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
證明該極限不存在
lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)
=1-lim8 / [(x/y)^2+3]
因為不知道x、y的大校
所以lim (x 和y)趨向於無窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
極限不存在
4如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!
反證法若存在實數l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0點的任意小的鄰域x內，總存在整數n，
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin[1/x1(n)]=1，
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-l|<1/3，
和|sin[1/x2(n)]-l|<1/3，
同時成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同時成立。
這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l 成立的實數l不存在。
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