實驗1 用lingo求解線性規劃問題
lingo使用簡介
lingo軟體是美國的lindo系統公司（lindo system inc）開發的一套用於求解最優化問題的軟體包.lingo除了能用於求解線性規劃和二次規劃外，還可以用於非線性規劃求解以及一些線性和非線性方程（組）的求解.lingo軟體的最大特色在於它允許優化模型中的決策變數為整數，而且執行速度快.
lingo內建了一種建立最優化模型的語言，可以簡便地表達大規模問題，利用lingo高效的求解器可快速求解並分析結果，這裡簡單介紹lingo的使用方法.
lingo可以求解線性規劃、二次規劃、非線性規劃、整數規劃、圖論及網路優化和排隊論模型中的最優化問題等.
乙個lingo程式一般會包含集合段、資料輸入段、優化目標和約束段、初始段和資料預處理段等部分，每一部分有其獨特的作用和語法規則，讀者可以通過查閱相關的參考書或者lingo的help檔案詳細了解，這裡就不展開介紹了.
lingo的主要功能特色為：既能求解線性規劃問題，也有較強的求解非線性規劃問題的能力；輸入模型簡練直觀；運算速度快、計算能力強；內建建模語言，提供幾十個內部函式，從而能以較少語句，較直觀的方式描述大規模的優化模型；將集合的概念引入程式語言，很容易將實際問題轉換為lingo模型；並且能方便地與excel、資料庫等其他軟體交換資料.
lingo的語法規定：
（1）求目標函式的最大值或最小值分別用max=…或min=…來表示；（2）每個語句必須以分號「；」結束，每行可以有許多語句，語句可以跨行；（3）變數名稱必須以字母（a~z）開頭，由字母、數字（0~9）和下劃線所組成，長度不超過32個字元，不區分大小寫；
（4）可以給語句加上標號，例如[obj] max=200*x1+300*x2；（5）以驚嘆號「！」開頭，以分號「；」結束的語句是注釋語句；
（6）如果對變數的取值範圍沒有作特殊說明，則預設所有決策變數都非負；
（7）lingo模型以語句「model：」開頭，以「end」結束，對於比較簡單的模型，這兩個語句可以省略.
實驗目的
1.對於給定的實際應用問題，正確的建立線性規劃問題數學模型，並用lingo求解；2.掌握靈敏度分析以及資源的影子**的相關分析方法.
實驗資料與內容
問題1.1某工廠在計畫期內要安排生產a、b兩種產品，已知生產單位產品所需裝置台時及對甲、乙兩種原材料的消耗，有關資料如表1.1.
問：應如何安排生產計畫，使工廠獲利最大？1資源
1 28台時裝置
4 016公斤甲
0 412公斤乙
單位利潤2元3元
建立線性規劃問題的數學模型，用lingo求出最優解並做相應的分析.
問題1.2某公司飼養實驗用的動物以供**，已知這些動物的生長對飼料中3種營養成分（蛋白質、礦物質和維生素）特別敏感，每個動物每週至少需要蛋白質60g，礦物質3g，維生素8mg，該公司能買到5種不同的飼料，每種飼料1kg所含各種營養成分和成本如表1.2所示，如果每個小動物每週食用飼料不超過52kg，求既能滿足動物生長需要，又使總成本最低的飼料配方.
表1.2配料（食譜）問題的資料飼料
營養蛋白質(g)礦物質(g)維生素(mg)
營養最低要求
0.3 210.61.860
表1.1資源配置問題的資料產品
a b可利用資源
a1a2a3a4a5
0.1 0.050.020.20.050.05 0.10.02 0.20.08
380.5成本（元/kg）0.2 0.7 0.4 0.3
實驗指導
問題1.1設計畫生產a,b兩種產品分別為x1,x2，則建立線性規劃問題數學模型
maxs=2x1+3x2x1+2x2≤8
4x≤4x2≤12x1,x2≥0
在lingo的model視窗內輸入如下模型：model:
max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end
選選單lingo|solve(或按ctrl+s),或用滑鼠點選「求解」按紐，如果模型有語法錯誤，則彈出乙個標題為「lingo error message」(錯誤資訊)的視窗，指出在哪一行有怎樣的錯誤，每一種錯誤都有乙個編號（具體含義可查閱相關文獻或lingo的help）.改正錯誤以後再求解，如果語法通過，lingo用內部所帶的求解程式求出模型的解，然後彈出乙個標題為「lingo solver status」（求解狀態）的視窗，其內容為變數個數、約束條件個數、優化狀態、耗費記憶體、所花時間等資訊，點選close關閉視窗，螢幕上出現標題為「solution report」（解的報告）的資訊視窗，顯示優化計算（線性規劃中換基迭代）的步數、優化後的目標函式值、列出各變數的計算結果.求解結果：
2global optimal solution found at iteration:5objectivevalue: 14.00000
variablevaluereduced costx14.0000000.000000x22.
0000000.000000row slackorsurplus dualprice114.000001.
00000020.0000001.50000030.
0000000.125000044.0000000.
000000
該報告說明：執行5步找到全域性最優解，目標函式值為14，變數值分別為x1=4,x2=2.「reduced cost」的含義是需縮減成本係數或需增加利潤係數（最優解中取值非零的決策變數的reduced cost值等於零）.
「row」是輸入模型中的行號，目標函式是第一行；「slack orsurplus」的意思是鬆弛或剩餘，即約束條件左邊與右邊的差值，對於「≤」的不等式，右邊減左邊的差值為slack（鬆弛），對於「≥」的不等式，左邊減右邊的差值為surplus（剩餘），當約束條件兩邊相等時，鬆弛或剩餘的值等於零.「dual price」的意思是對偶**（或稱為影子**），上述報告中row2的鬆弛值為0，表明生產甲產品4單位、乙產品2單位，所需裝置8台時已經飽和，對偶**1.5的含義是：
如果裝置增加1台時，能使目標函式值增加1.5.報告中row4的鬆弛值為4，表明生產甲產品4單位、乙產品2單位，所需原材料乙8公斤還剩餘4公斤，因此增加原材料乙不會使目標函式值增加，所以對偶**為0.
問題1.2設需要飼料a1,a2,a3,a4,a5分別為x1,x2,x3,x4,x5kg，則建立線性規劃數學模型：
mins=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.5x50.3x1+2x2+x3+0.6x4+1.8x5≥60
0.1x+0.05x+0.02x+0.2x+0.05x≥3
12345
2345
1x1,x2,x3,x4,x5≥0
在lingo的model視窗內輸入如下模型：
min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;
0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;
0.1*x1+0.05*x2+0.
02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.
05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.
2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;求解輸出結果如下:
global optimal solution found at iteration:4objectivevalue: 22.40000
variablevaluereduced costx10.0000000.7000000x212.
000000.000000x30.0000000.
6166667x430.000000.000000x510.
000000.000000
3row slackorsurplus dualprice122.40000-1.00000020.
000000-0.583333334.1000000.
00000040.000000-4.16666750.
0000000.8833333
因此,每週每個動物的配料為飼料a2、a4、a5分別為12kg、30kg和10kg，合計為
52kg，可使得飼養成本達到最小，最小成本為22.4元；不選用飼料a1和a3的原因是因為這兩種飼料的**太高了，沒有競爭力.「reduced cost」分別等於0.
7和0.617，說明當這不僅選用這兩種飼料而且使得飼養成本降兩種飼料的**分別降低0.7元和0.
62元以上時，
低.從「slack or surplus」可以看出，蛋白質和維生素剛達到最低標準，礦物質超過最低標準
4.1g；從「dual price」可以得到降低標準蛋白質1單位可使飼養成本降低0.583元，降低標準維生素1單位可使飼養成本降低4.
167元，但降低礦物質的標準不會降低飼養成本，如果動物的進食量減少，就必須選取精一些的飼料但要增加成本，大約進食量降低1kg可使得飼養成本增加0.88元.
對於目標函式係數和約束條件右端常數項的靈敏度分析，可以通過lingo軟體求解的靈敏度分析給出.如果要看靈敏度分析結果，必須啟用靈敏度計算功能才會在求解時給出靈必須執行lingo|options…命令，敏度分析結果，預設情況下這項功能是關閉的.想要啟用它，選擇gengral solver，在dual computation列表框中，選擇prices and ranges選項並確定.
對於例1.1問題進行靈敏度分析，結果如下：
以下是靈敏度分析的結果
ranges in which the basis is unchanged:
objective coefficient ranges
current allowable allowable
variable coefficient increase decrea***12.000000infinity0.5000000x2 3.
000000 1.000000 3.000000
righthand side ranges
row current allowable allowable
rhsincrease decrease
2 8.000000 2.000000 4.
0000003 16.00000 16.00000 8.
000000412.00000infinity4.000000
對於例1.2問題進行靈敏度分析，結果如下：ranges in which the basis is unchanged:objective coefficient ranges
current allowable allowable
variable coefficient increasedecrea***10.2000000infinity0.7000000x20.
7000000infinity0.1358974x30.4000000infinity0.
6166667x4 0.3000000 1.400000 1.
000000x5 0.5000000 0.1247059 infinityrighthand side ranges
row current allowable allowable
rhs increase decrease
2 60.00000 4.800000 4.
80000033.0000004.100000infinity4 8.
000000 0.3428571 0.4800000
45 52.00000 1.846154 1.411765
思考題某投資公司擬制定今後5年的投資計畫，初步考慮下面四個投資專案：
專案a：從第1年到第4年每年年初可以投資，於次年年末收回成本，並可獲利潤15%；專案b：第3年年初可以投資，到第5年年末可以收回成本，並獲得利潤25%，但為了保證足夠的資金流動，規定該項目的投資金額上限為不超過總金額的40%；
專案c：第2年年初可以投資，到第5年年末可以收回成本，並獲得利潤40%，但公司規定該項目的最大投資金額不超過總金額的30%；
專案d：5年內每年年初可以購買公債，於當年年末可以歸還本金，並獲利息6%.該公司現有投資金額100萬元，請幫助該公司制定這些專案每年的投資計畫，使公司到第5年年末核算這5年投資的收益率達到最大.
建立線性規劃問題的數學模型，並用lingo求解.5
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