求解非線性規劃

非線性規劃的例項與定義

如果目標函式或約束條件中包含非線性函式，就稱這種規劃問題為非線性規劃問題。一般說來，解非線性規劃要比解線性規劃問題困難得多。而且，也不象線性規劃有單純形法這一通用方法，非線性規劃目前還沒有適於各種問題的一般演算法，各個方法都有自己特定的適用範圍。

1.2 線性規劃與非線性規劃的區別

如果線性規劃的最優解存在，其最優解只能在其可行域的邊界上達到（特別是可行域的頂點上達到）；而非線性規劃的最優解（如果最優解存在）則可能在其可行域的任意一點達到。

1.3 非線性規劃的matlab解法

matlab中非線性規劃的數學模型寫成以下形式

其中是標量函式，是相應維數的矩陣和向量，是非線性向量函式。

matlab中的命令是

x=fmincon(fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

它的返回值是向量，其中fun是用m檔案定義的函式；x0是的初始值；a,b,aeq,beq定義了線性約束，如果沒有等式約束，則a=,b=,aeq=,beq=；lb和ub是變數的下界和上界，如果上界和下界沒有約束，則lb=，ub=，如果無下界，則lb=-inf，如果無上界，則ub=inf；nonlcon是用m檔案定義的非線性向量函式；options定義了優化引數，可以使用matlab預設的引數設定。

例2 求下列非線性規劃問題

（）編寫m檔案fun1.m

function f=fun1(x);

f=x(1)^2+x(2)^2+8;

和m檔案fun2.m

function [g,h]=fun2(x);

g=-x(1)^2+x(2);

h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式約束

（）在matlab的命令視窗依次輸入

options=optimset;

[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1zeros(2,1),, ...

'fun2', options)

就可以求得當時，最小值。

1.4 求解非線性規劃的基本迭代格式

記（np）的可行域為。

若，並且

則稱是（np）的整體最優解，是(np)的整體最優值。如果有

則稱是（np）的嚴格整體最優解，是(np)的嚴格整體最優值。

若，並且存在的鄰域，使

，則稱是（np）的區域性最優解，是(np)的區域性最優值。如果有

則稱是（np）的嚴格區域性最優解，是(np)的嚴格區域性最優值。

由於線性規劃的目標函式為線性函式，可行域為凸集，因而求出的最優解就是整個可行域上的全域性最優解。非線性規劃卻不然，有時求出的某個解雖是一部分可行域上的極值點，但並不一定是整個可行域上的全域性最優解。

對於非線性規劃模型(np)，可以採用迭代方法求它的最優解。迭代方法的基本思想是：從乙個選定的初始點出發，按照某一特定的迭代規則產生乙個點列，使得當是有窮點列時，其最後乙個點是(np)的最優解；當是無窮點列時，它有極限點，並且其極限點是(np)的最優解。

設是某迭代方法的第輪迭代點，是第輪迭代點，記

1）這裡，顯然是由點與點確定的方向。式（1）就是求解非線性規劃模型(np)的基本迭代格式。

通常，我們把基本迭代格式（1）中的稱為第輪搜尋方向，為沿方向的步長，使用迭代方法求解(np)的關鍵在於，如何構造每一輪的搜尋方向和確定適當的步長。

設，若存在，使

，稱向量是在點處的下降方向。

設，若存在，使

，稱向量是點處關於的可行方向。

乙個向量，若既是函式在點處的下降方向，又是該點關於區域的可行方向，則稱之為函式在點處關於的可行下降方向。

現在，我們給出用基本迭代格式（1）求解(np)的一般步驟如下：

0 選取初始點，令。

1 構造搜尋方向，依照一定規則，構造在點處關於的可行下降方向作為搜尋方向。

2 尋求搜尋步長。以為起點沿搜尋方向尋求適當的步長，使目標函式值有某種意義的下降。

3 求出下乙個迭代點。按迭代格式（1）求出

。若已滿足某種終止條件，停止迭代。

4 以代替，回到1步

1.5 凸函式、凸規劃

設為定義在維歐氏空間中某個凸集上的函式，若對任何實數以及中的任意兩點和，恒有

則稱為定義在上的凸函式。

若對每乙個和恒有

則稱為定義在上的嚴格凸函式。

考慮非線性規劃

假定其中為凸函式，為凸函式，這樣的非線性規劃稱為凸規劃。

可以證明，凸規劃的可行域為凸集，其區域性最優解即為全域性最優解，而且其最優解的集合形成乙個凸集。當凸規劃的目標函式為嚴格凸函式時，其最優解必定唯一（假定最優解存在）。由此可見，凸規劃是一模擬較簡單而又具有重要理論意義的非線性規劃。

求解非線性規劃

非線性規劃

52非線性規劃問題

7非線性規劃模型

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