§15. 利用matlab求解線性規劃問題
線性規劃是一種優化方法，matlab優化工具箱中有現成函式linprog對如下式描述的lp問題求解：
% min f'x
% s.t .(約束條件)： ax<=b
% (等式約束條件)： aeqx=beq
% lb<=x<=ub
linprog函式的呼叫格式如下：
x=linprog(f,a,b)
x=linprog(f,a,b,aeq,beq)
x=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
其中：x=linprog(f,a,b)返回值x為最優解向量。
x=linprog(f,a,b,aeq,beq) 作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令a=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub為變數x的下界和上界，x0為初值點，options為指定優化引數進行最小化。
options的引數描述：
display顯示水平。 選擇』off』 不顯示輸出；選擇』iter』顯示每一步迭代過程的輸出；選擇』final』 顯示最終結果。
maxfunevals 函式評價的最大允許次數
maxiter 最大允許迭代次數
tolx x處的終止容限
[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x處的目標函式值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,a,b, aeq,beq,lb,ub,x0) 的輸出部分：
exitflag 描述函式計算的退出條件：若為正值，表示目標函式收斂於解x處；若為負值，表示目標函式不收斂；若為零值，表示已經達到函式評價或迭代的最大次數。
output 返回優化資訊：output.iterations表示迭代次數；output.
algorithm表示所採用的演算法；outprt.funccount表示函式評價次數。
lambda 返回x處的拉格朗日乘子。它有以下屬性：
lambda.lower-lambda的下界；
lambda.upper-lambda的上界；
lambda.ineqlin-lambda的線性不等式；
lambda.eqlin-lambda的線性等式。
下面通過具體的例子來說明：
例如：某農場i、ii、iii等耕地的面積分別為100 hm2、300 hm2和200 hm2，計畫種植水稻、大豆和玉公尺，要求三種作物的最低收穫量分別為190000kg、130000kg和350000kg。i、ii、iii等耕地種植三種作物的單產如表5.
1.4所示。若三種作物的售價分別為水稻1.
20元/kg，大豆1.50元/kg，玉公尺0.80元/kg。
那麼，（1）如何制訂種植計畫，才能使總產量最大？（2）如何制訂種植計畫，才能使總產值最大？
表1不同等級耕地種植不同作物的單產(單位:kg / hm2)
首先根據題意建立線性規劃模型（決策變數設定如表2所示，表中表示第種作物在第j等級的耕地上的種植面積。）：
表2 作物計畫種植面積（單位:hm2)
約束方程如下：
耕地面積約束：
最低收穫量約束：
非負約束：
(1)追求總產量最大，目標函式為：
(2)追求總產值最大，目標函式為：
根據求解函式linprog中的引數含義，列出係數矩陣，目標函式係數矩陣，以及約束條件等。
這些引數中沒有的設為空。譬如，
（1）當追求總產量最大時，只要將引數
f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];
a=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;
-11000.0000 0.0000 0.
0000 -9500.0000 0.0000 0.
0000 -9000.0000 0.0000 0.
0000;
0.0000 -8000.0000 0.
0000 0.0000 -6800.0000 0.
0000 0.0000 -6000.0000 0.
0000;
0.0000 0.0000 -14000.
0000 0.0000 0.0000 -12000.
0000 0.0000 0.0000 -10000.
0000];
b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];
lb=[0.0000 0.0000 0.
0000 0.0000 0.0000 0.
0000 0.0000 0.0000 0.
0000 ];
代入求解函式，即可求得結果。
（2）當追求總產值最大時，將引數
f=[-13200 –11400 –10800 –12000 –10200 –9000 –11200 –9600 -8000];
a=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;
-11000.0000 0.0000 0.
0000 -9500.0000 0.0000 0.
0000 -9000.0000 0.0000 0.
0000;
0.0000 -8000.0000 0.
0000 0.0000 -6800.0000 0.
0000 0.0000 -6000.0000 0.
0000;
0.0000 0.0000 -14000.
0000 0.0000 0.0000 -12000.
0000 0.0000 0.0000 -10000.
0000];
b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];
lb=[0.0000 0.0000 0.
0000 0.0000 0.0000 0.
0000 0.0000 0.0000 0.
0000 ];
代入求解函式，即可得到求解結果。
線性規劃，還有其他的幾種呼叫函式形式，可在matlab幫助中查詢lp或者linprog的幫助說明。
15利用Matlab求解線性規劃問題
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用matlab求解線性規劃問題
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2 使用MATLAB求解線性規劃問題
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