一、基礎知識
（1）線性約束條件：關於變數的一次不等式（或方程）組
（2）可行解：滿足線性約束條件的解
（3）可行域：所有可行解組成的集合
（4）目標函式：關於的函式解析式
（5）最優解：是目標函式取得最大值或最小值的可行解
2、如何在直角座標系中作出可行域：
（1）先作出圍成可行域的直線，利用「兩點唯一確定一條直線」可選取直線上的兩個特殊點（比如座標軸上的點），以便快速做出直線
（2）如何判斷滿足不等式的區域位於直線的哪一側：一條曲線（或直線）將平面分成若干區域，則在同一區域的點，所滿足不等式的不等號方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊點判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點所在區域均符合該不等式，具體來說有以下三種情況：
① 豎直線或水平線：可通過點的橫（縱）座標直接進行判斷
② 一般直線：可代入點進行判斷，若符合不等式，則原點所在區域即為不等式表示區域，否則則為另一半區域。例如：不等式，代入符合不等式，則所表示區域為直線的右下方
③ 過原點的直線：無法代入，可代入座標軸上的特殊點予以解決，或者利用象限進行判斷。例如：：直線穿過
一、三象限，二、四象限分居直線兩側。考慮第四象限的點，所以必有，所以第四象限所在區域含在表示的區域之中。
（3）在作可行域時要注意邊界是否能夠取到：對於約束條件（或）邊界不能取值時，在影象中邊界用虛線表示；對於約束條件（或）邊界能取值時，在影象中邊界用實線表示
3、利用數形結合尋求最優解的一般步驟
（1）根據約束條件，在平面直角座標系中作出可行域所代表的區域
（2）確定目標函式在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：（設為常數）
① 線性表示式——與縱截距相關：例如，則有，從而的取值與動直線的縱截距相關，要注意的符號，若，則的最大值與縱截距最大值相關；若，則的最大值與縱截距最小值相關。
② 分式——與斜率相關（分式）：例如：可理解為是可行域中的點與定點連線的斜率。
③ 含平方和——與距離相關：例如：可理解為是可行域中的點與定點距離的平方。
（3）根據的意義尋找最優解，以及的範圍（或最值）
4、線性目標函式影響最優解選取的要素：當目標函式直線斜率與約束條件直線斜率符號相同時，目標函式直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優解的選取。
例如：若變數滿足約束條件，則的最大值等於_____
作出可行域如圖所示，直線的斜率，直線的斜率，目標函式的斜率，所以，所以在平移直線時，目標函式直線的傾斜程度要介於兩直線之間，從而可得到在取得最優解。但在作圖中如果沒有考慮斜率間的聯絡，平移的直線比還要平，則會發現最優解在處取得，以及若平移的直線比還要陡，則會發現最優解在處取得，都會造成錯誤。所以在處理目標函式與約束條件的關係時，要觀察斜率的大小，並確定直線間「陡峭」程度的不同。
（1）在斜率符號相同的情況下：越大，則直線越「陡」
（2）在作圖和平移直線的過程中，影象不必過於精確，但斜率符號相同的直線之間，陡峭程度要與斜率絕對值大小關係一致，這樣才能保證最優解選取的準確
（3）當目標函式的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時，有可能達到最值的最優解有無數多個（位於可行域的邊界上）
（4）當目標函式的斜率含參時，涉及到最優解選取的分類討論，討論通常以約束條件中同符號的斜率作為分界點。
二、典型例題：
例1：若變數滿足約束條件，則的最小值等於（ ）
abcd.
思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為乙個封閉的三角形區域，目標函式化為：，則的最小值即為動直線縱截距的最大值。
目標函式的斜率大於約束條件的斜率，所以動直線斜向上且更陡。通過平移可發現在點處，縱截距最大。且解得，所以的最小值
答案：a
例2：設變數滿足約束條件，則目標函式的最小值為（ ）
abcd.
思路：作出目標函式的可行域，得到乙個開放的區域，目標函式，通過平移可得最優解為，所以
答案：b
例3：若變數滿足，則的最大值為（ ）
abcd.
思路：目標函式可視為點到原點距離的平方，所以只需求出可行域裡距離原點最遠的點即可，作出可行域，觀察可得最遠的點為，所以
答案：d
例4：設變數滿足約束條件，則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
思路：所求可視為點與定點連線的斜率。從而在可行域中尋找斜率的取值範圍即可，可得在處的斜率最小，即，在處的斜率最大，為，結合影象可得的範圍為
答案：d
例5：若實數滿足條件，則的最大值為（ ）
abcd.
思路：設，則可先計算出的範圍，即可求出的最大值：，則最優解為，所以，則
答案：b
例6：設為座標原點，點的座標為，若點滿足不等式組，則使取得最大值的點的個數有（ ）
a. 1bcd. 無數個
思路：設，作出可行域，通過平移可發現達到最大值時，目標函式與直線重合，所以有無數多個點均能使取得最大值
答案：d
例7：（2015，福建）變數滿足約束條件，若的最大值為，則實數等於（ ）
a. bcd.
思路：本題約束條件含參，考慮先處理常係數不等式，作出影象，直線為繞原點旋轉的直線，從影象可觀察出可行域為乙個封閉三角形，目標函式，若最大則動直線的縱截距最小，可觀察到為最優解。，則有，解得：
答案：c
小煉有話說：當線性約束條件含引數時，一方面可先處理常係數不等式，作出可行域的大致範圍，尋找引數變化時，可行域的共同特徵；另一方面對含引數的直線確定是否過定點，在變化中尋找區域的規律。找到共同的最優解所滿足的方程，便可根據最值求出引數
例8：在約束條件下，若目標函式的最大值不超過4，則實數的取值範圍是（ ）
abcd.
思路：先做出常係數直線，動直線時注意到，斜率為常數1，且發現圍成的區域恒為乙個三角形。目標函式，通過影象可得最優解為，所以，則解得：
答案：d
例9：若變數滿足約束條件，若的最大值為4，則（ ）
abcd.
思路：如圖作出可行域，目標函式為，由於決定直線的方向，且約束條件中的直線斜率有正有負。所以先考慮的符號：
當時，此時與的斜率進行比較：
若，則的最大值為0，不符題意；
若，則最優解為，代入解得與初始範圍矛盾，故捨去；當時，直線與斜率進行比較：
若，則最優解為，代入解得，符合題意
若，可得的最大值為2，不符題意，捨去
若，則最優解為，代入解得與初始範圍矛盾，捨去
綜上所述：
答案：b
小煉有話說：（1）目標函式的直線陡峭程度不同，會導致最優解不同，所以當斜率含參時，可在約束條件中尋找斜率與目標函式斜率同號的直線，則這些直線的斜率通常是分類討論的分界點。
（2）本題也可分別假設可行域3個頂點為最優解，求出的值，再帶入驗證。
例10：設滿足約束條件，若目標函式的最大值為，則的最小值是（ ）
abcd.
思路：先做出可行域，目標函式，由可得直線的斜率為負，所以由影象可得最大值在處取得，即，所以
答案：c
小煉有話說：本題判斷出斜率為負是解題的關鍵，從而能迅速通過平移直線得到最優解，而後與均值不等式結合求出最值
三、歷年好題精選
1、（2016，衡陽聯考）如果實數滿足條件，則的最小值為，則正數的值為
2、(2014，溫州中學三月考)已知實數滿足，則的最小值是_________
3、若點在不等式組所表示的平面區域內，則的取值範圍是_________
4、（2016，南昌二中四月考）已知實數滿足，則的取值範圍是________
5、設實數滿足,則的取值範圍為（ ）
abcd.
6、設實數滿足，則為（ ）
a. 有最小值2，最大值3b. 有最小值2，無最大值
c. 有最大值3，無最小值d. 既無最小值，也無最大值
7、設滿足約束條件：，則的最小值是（ ）
abcd.
8、（2016，湖南師大附中月考）若實數滿足，設，則的最大值為（ ）
a．1bcd．2
9、（2015，北京）若滿足，則的最大值為（ ）
abcd.
10、（2015，廣東）若變數滿足約束條件，則的最小值為（ ） abcd.
11、（2015，新課標i）若滿足約束條件，則的最大值為________
答案：3
12、（2015，新課標ii）若滿足約束條件，則的最大值為____
13、（2015，山東）已知滿足約束條件，若的最大值為，則（ ）
abcd.
14、（2014，北京）若滿足約束條件，且的最小值為，則的值為（ ）
abcd.
求解非線性規劃
非線性規劃的例項與定義 如果目標函式或約束條件中包含非線性函式，就稱這種規劃問題為非線性規劃問題。一般說來，解非線性規劃要比解線性規劃問題困難得多。而且，也不象線性規劃有單純形法這一通用方法，非線性規劃目前還沒有適於各種問題的一般演算法，各個方法都有自己特定的適用範圍。1.2 線性規劃與非線性規劃的...
線性規劃問題建模與求解
一 實驗目的 1 掌握線性規劃問題建模基本方法。2 熟練應用excel 規劃求解 功能對線性規劃問題進行建模與求解。3 掌握線性規劃問題的對偶理論和靈敏度分析。二 實驗裝置 硬體 pc機。軟體 microsoft excel。三 實驗內容 1 建立線性規劃問題的數學模型。2 利用excel 規劃求解...
用matlab求解線性規劃問題
實驗四用matlab求解線性規劃問題 一 實驗目的 了解matlab的優化工具箱，能利用matlab求解線性規劃問題。二 實驗內容 線性規劃的數學模型有各種不同的形式，其一般形式可以寫為 目標函式 約束條件 這裡稱為目標函式，稱為價值係數，稱為價值向量，為求解的變數，由係數組成的矩陣 稱為不等式約束...