題組層級快練(四十三)
1．在平面直角座標系中，若點(－2，t)在直線x－2y＋4＝0的上方，則t的取值範圍是( )
a．(－∞，1b．(1，＋∞)
c．(－1，＋∞) d．(0,1)
答案 b
解析將x＝－2代入直線x－2y＋4＝0中，得y＝1.因為點(－2，t)在直線上方，所以t>1.
2．不等式y≤3x＋b所表示的區域恰好使點(3,4)不在此區域內，而點(4,4)在此區域內，則b的取值範圍是( )
a．－8≤b≤－5 b．b≤－8或b>－5
c．－8≤b<－5 d．b≤－8或b≤－5
答案 c
解析由已知條件得即－8≤b<－5.故選c.
3．(2014·天津理)設變數x，y滿足約束條件則目標函式z＝x＋2y的最小值為( )
a．2 b．3
c．4 d．5
答案 b
解析畫出可行域，不難發現在點a(1,1)處目標函式z＝x＋2y有最小值zmin＝3.選b.
4．(2014·新課標全國ⅰ文)設x，y滿足約束條件且z＝x＋ay的最小值為7, 則a＝( )
a．－5 b．3
c．－5或3 d．5或－3
答案 b
解析聯立方程解得代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，當a＝ －5時，z＝x＋ay的最大值是7；當a＝3時，z＝x＋ay的最小值是7，故選b.
5．(2015·東北三校一聯)變數x，y滿足約束條件若使z＝ax＋y取得最大值的最優解有無數個，則實數a的取值集合是( )
a． b．
c． d．
答案 b
解析作出不等式組表示的區域如下圖所示，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當－a>0時，平行直線的傾斜角為銳角，從第乙個圖可看出，當a＝－1時，線段ac上的所有點都是最優解；當－a<0時，平行直線的傾斜角為鈍角，從第二個圖可看出，當a＝3時，線段bc上的所有點都是最優解．故選b項．
6．(2015·陝西西工大附中適應性訓練)設變數x，y滿足條件則點p(x＋y，x－y)所在區域的面積為( )
a．4 b．6
c．8 d．10
答案 c
解析作出不等式組表示的線性區域如圖①所示．
可知x＋y∈[4,8]，x－y∈[2,6]，且當x＋y＝4時，x－y可以取到[2,6]內的所有值；當x＋y＝8時，x－y＝2，即△abc所表示的區域如圖②所示，則s△abc＝×4×4＝8，故c正確．
7．(2015·湖南常德期末協作考試)已知實數x，y滿足條件則z＝的最小值為( )
a．3＋ b．2＋
c. d.
答案 c
解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．目標函式z＝＝表示在可行域取一點與點(2,0)連線的斜率，可知過點(2,0)作半圓的切線，切線的斜率為z＝的最小值，設切線方程為y＝k(x－2)，則a到切線的距離為1，故1＝.解得k＝.
8．(2014·北京理)若x，y滿足且z＝y－x的最小值為－4，則k的值為( )
a．2 b．－2
c. d．－
答案 d
解析作出可行域，平移直線y＝x，由z的最小值為－4求引數k的值．
作出可行域，如圖中陰影部分所示，直線kx－y＋2＝0與x軸的交點為a.
∵z＝y－x的最小值為－4，∴＝－4，解得k＝－，故選d項．
9．已知平面直角座標系xoy上的區域d由不等式組給定．若m(x，y)為d上的動點，點a的座標為(，1)，則z＝·的最大值為( )
a．3 b．4
c．3 d．4
答案 b
解析畫出區域d，如圖中陰影部分所示，而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z.令l0：y＝－x，將l0平移到過點(，2)時，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
10．不等式組表示的區域為d，z＝x＋y是定義在d上的目標函式，則區域d的面積為z的最大值為________．
答案 ，5
解析影象的三個頂點分別為(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)，所以面積為.
因為目標函式的最值在頂點處取得，把它們分別代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3時有zmax＝5.
11．已知實數x，y滿足不等式組目標函式
z＝y－ax(a∈r)．若z取最大值時的唯一最優解是(1,3)，則實數a的取值範圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析作出可行域，可行域為三條直線所圍成的區域，則它的最大值在三條直線的交點處取得，三個交點分別為(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以所以a>1.
12．當x，y滿足約束條件(k為負常數)時，能使z＝x＋3y的最大值為12，試求k的值．
答案 －9
解析 在平面直角座標系中畫出不等式組所表示的平面區域(如圖所示)．
當直線y＝－x＋z經過區域中的點a時，截距最大．
由得x＝y＝－.
∴點a的座標為(－，－)．
則z的最大值為－＋3(－)＝－k.
令－＝12，得k＝－9.
∴所求實數k的值為－9.
13．(2015·南昌一模)營養師要為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知乙個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素c；乙個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素c.如果乙個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.
5元和4元，那麼要滿足上述的營養要求，並且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？
答案應預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐
解析設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意，得z＝2.5x＋4y，且x，y滿足
即讓目標函式表示的直線2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在b(4,3)處取得最小值．
因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求．
1．(2013·山東理)在平面直角座標系xoy中，m為不等式組所表示的區域上一動點，則直線om斜率的最小值為( )
a．2 b．1
c．－ d．－
答案 c
解析已知不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，顯然當點m與a重合時直線om的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得a(3，－1)，故om斜率的最小值為－.
2．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面區域為( )
答案 b
解析方法一：可轉化為
①或②由於(－2,0)滿足②，所以排除a，c，d選項．
方法二：原不等式可轉化為
③或④兩條直線相交產生四個區域，分別為上下左右區域，③表示上面的區域，④表示下面的區域，故選b.
3．設變數x，y滿足約束條件則目標函式z＝2x＋3y＋1的最大值為( )
a．11 b．10
c．9 d．8.5
答案 b
解析畫出不等式組表示的平面區域如圖所示，由目標函式得y＝－x＋，根據目標函式的幾何意義，顯然當直線y＝－x＋在y軸上的截距最大時z最大，故在圖中的點a處目標函式取得最大值，點a(3,1)，所以zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.
4．已知正三角形abc的頂點a(1,1)，b(1,3)，頂點c在第一象限，若點(x，y)在△abc內部，則z＝－x＋y的取值範圍是( )
a．(1－，2) b．(0,2)
c．(－1,2) d．(0,1＋)
答案 a
解析由頂點c在第一象限且與a，b構成正三角形可求得點c座標為(1＋，2)，將目標函式化為斜截式為y＝x＋z，結合圖形可知當y＝x＋z過點c時z取到最小值，此時zmin＝1－，當y＝x＋z過點b時z取到最大值，此時zmax＝2，綜合可知z的取值範圍為(1－，2)．
5．(2014·山東)已知x，y滿足約束條件當目標函式z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在該約束條件下取到最小值2時，a2＋b2的最小值為( )
a．5 b．4
c. d．2
答案 b
解析方法一：不等式組表示的平面區域如圖所示，根據目標函式的幾何意義可知，目標函式在點a(2,1)處取得最小值，故2a＋b＝2，兩端平方得4a2＋b2＋4ab＝20.又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，
所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值為4，當且僅當a＝2b，即b＝，a＝時等號成立．
方法二：把2a＋b＝2看作平面直角座標系aob中的直線，則a2＋b2的幾何意義是直線上的點與座標原點距離的平方，顯然a2＋b2的最小值是座標原點到直線2a＋b＝2距離的平方，即2＝4.
6．(2015·安徽六安中學調研)已知雙曲線x2－y2＝4的兩條漸近線與直線x＝3圍成乙個三角形區域，表示該區域的不等式組是( )
a. b.
c. d.
答案 a
解析雙曲線x2－y2＝4的兩條漸近線方程為y＝±x，與直線x＝3圍成乙個三角形區域時，有故選a.
7．乙個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現庫存磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎上生產這兩種混合肥料．如果生產1車皮甲種肥料產生的利潤為10 000元，生產1車皮乙種肥料產生的利潤為5 000元，那麼可產生的最大利潤是________元．
答案 30 000
解析設甲、乙兩種肥料分別生產x車皮和y車皮，則利潤z＝10 000x＋5 000y.由題意得約束條件
作出可行域(圖略)，
當目標函式z＝10 000x＋5 000y經過點a(2,2)時，z取得最大值．
即zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000，所以甲、乙兩種肥料都生產2車皮時，可獲得最大利潤30 000元．
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