§2.7 非線性規劃模型
在現實問題中，大量的問題是非線性的。因此，除線性規劃外，應用更多的是非線性規劃。本節簡單介紹非線性規劃的有關概念。
一. 引例
例1． 如圖2-68，預建一豬舍，圍牆與隔牆的總長不能超過40公尺，問長、寬各多少時，面積最大？
設長、寬分別是公尺、公尺時，問題即為下述優化問題：求
易知，本問題的最優解是
例2． 某企業生產一種產品，其生產要素（可以是某種原材料，也可以是勞力、資本等）編號為. 已知該產品的生產函式為(第種生產要素的投入量為時的產品產出量)一般為非線性函式,設給定產品的總產量為,第種生產要素的單位生產費用為,問如何安排生產成本最低?
數學模型為:
例3． 最優國民經濟計畫模型
國民經濟由個部門所組成, 編號為,各部門間直接消耗的係數矩陣為,為第個部門生產價值乙個單位的產品直接消耗部門產品的價值單位,部門的生產函式其中為第部門總產品的價值.為投入部門的資金數為投入部門的勞力數.問在總勞動力,資金給定的前提下,如何安排各部門的資金數及勞力投入,可使國民收入最大?
設表示第部門最終產品的總價值,則數學模型為
例4． 確定經驗公式－非線性回歸分析
設(,) ()為實際問題中的一組資料,且與有關係,現求係數使得與資料組「最接近」。化為數學問題,即求
一般地，稱
min為規劃問題(或稱為條件極值問題)。
特別1. 當為線性函式，為二次函式，稱上述問題為二次規劃；
2. 當均為線性函式，稱上述問題為線性規劃。
稱為約束條件，稱為目標函式。
二. 二變數非線性規劃問題的**法
考慮規劃問題
min可以用**法求出.
先給出若干概念.
1. 約束集合
首先我們知道,在平面上,乙個不等式可確定乙個區域。如：，表示上方部分；，表示內部部分等.
乙個等式可確定一條曲線。
將所有不等式、等式確定的區域的公共部分稱為約束集合。
2. 等高線
對於目標函式， =取定值時，確定平面上一條曲線，而，取不同值為平面上一條曲線。對應於該曲線上的點，其函式值相同，稱這些曲線為等高線。
例5.的等高線為一族以原點為圓心的同心圓，時，這些同心圓半徑為。隨著圓的半徑增大，圓上的函式值增大（如圖2-69）。
例6.的等高線也為一族以原點為圓心的同心圓，半徑為。隨著圓的半徑擴大，圓上的函式值變小。（見圖2-70）。
3. 幾何意義及**法
例7. 非線性規劃問題
min的可行域（約束集合）如圖2-71陰影部分，最優解為（0，0）.
解「豬舍問題」（例1）
可行域即圖2-72陰影部分，做出等高線，取，易知最優解為與的交點
三. 函式的梯度及最速下降法
約束問題轉化為無約束問題(如lagrange乘數法)後可用最速下降法求解。
1. 求解無約束極值－多元函式極值
min經典數學方法：令，解得駐點，是否極值點？看矩陣的正定性即可，從
當矩陣正定時，在取極小；
當矩陣負定時，在取極大。
這種做法的困難是要解方程組；判定正定性。
2. 規劃方法
首先回顧梯度的性質：
在給定點的負梯度即是函式在點下降最快的方向；
時，梯度方向為曲線在的法向。
最速下降法：
我們假設穩定點又是最優點。給定初始點，若，則即為最優點；
否則，，則按梯度意義，為下降最快的方向，沿方向，求，使（其中是的一元函式）。
令，則（，特別取，有）
從依次迭代即可得到最優解。
步驟：1. 取初始點；
2. 若，止；
3. 計算，求極值；
4. 令，，轉2。
例9. 求無約束問題
。解：1. 取；
2.；3.；
4.；5. 。
故 。
四. 罰函式法
考慮非線性規劃問題
st 引入函式
用建構函式
其中是乙個很大的數。
由的定義，及約束條件的集合為，故，
由於時，
及為很大的正數，故也是乙個很大的正數。於是，當時，也是很大的數。
我們稱函式為罰函式，稱為罰款項，稱為罰因子。
對於固定的，為的函式。下面求無條件約束問題的最優解。（可用最速下降法）
設其最優解為。由於為很大的數，故無約束問題的最優解應滿足條件。
可以證明：
的最優解為規劃問題
的最優解。
這裡取多大合適，我們事先不知道。但從上述結論，若對，的最優解，則為原規劃問題的最優解。
否則，，則說明不夠大。從而取，再求解。
依次下去，若求得的最優解，則為原問題的最優解。
或與足夠接近，如：，迭代停止。否則，
令，繼續上述步驟。
這個方法稱為罰函式方法。
罰函式方法的實際意義：
考慮我們購買中貨物，對每種貨物的採購量分別為，則我們把目標函式
看成採購量分別為時，所需總錢數。
約束集合，理解為某種「規定」。因此，非線性規劃問題
的經濟意義為：在「規定」的範圍內購物，使花錢最少。
對於罰函式，的意義是：
相對「規定」制定一種「罰款」政策。若符合規定（即），則罰款為0。若違反規定，則需交納一筆正罰款（即罰款項）
於是，罰函式即為採購的總代價。
不難理解，當很大時，相當於對違反「規定」的採購規定了苛刻的罰款，這當然不合算。於是迫使我們在考慮總代價為最小時，要符合規定。
在數學上表現為：當很大時，無約束極值問題的最優解應滿足約束條件，即。
例10. 利用罰函式法求解
解若為極值，則。故無約束問題的最優解滿足，即。
當時，得。
例11. 解非線性規劃問題
解： 得解得
得，有。
非線性規劃
習題六6.1 試計算函式f x x12 x1x2 x22 的梯度和hesse矩陣。6.2 試證明下述函式f x 2x1x2x3 4x1x3 2x2x3 x12 x22 x32 2x1 4x2 4x3具有駐點 0，3，1 0，1，1 1，2，0 2，1，1 2，3，1 再應用充分性條件找出其極點。6....
求解非線性規劃
非線性規劃的例項與定義 如果目標函式或約束條件中包含非線性函式，就稱這種規劃問題為非線性規劃問題。一般說來，解非線性規劃要比解線性規劃問題困難得多。而且，也不象線性規劃有單純形法這一通用方法，非線性規劃目前還沒有適於各種問題的一般演算法，各個方法都有自己特定的適用範圍。1.2 線性規劃與非線性規劃的...
52非線性規劃問題
實驗5.2 非線性規劃問題 5.2.1實驗目的 1.學習非線性規劃的基本理論與建模方法。2.學習matlab軟體中非線性規劃問題的求解方法。5.2.2實驗背景知識介紹 1.非線性規劃問題的數學模型 在數學規劃問題中，若目標函式或約束條件中至少有乙個是非線性函式，這類問題稱之為非線性規劃問題，簡記為n...