摘要：某些幾何問題由於條件隱晦，技巧性處理難度較大。本文提出用代數的方法去解決此類平面幾何問題，通過座標系將幾何條件轉化為座標的數量關係式，既可以避免新增過多的輔助線，又為解題提供了更為靈活的思路和途徑，簡捷明快，化難為易。
關鍵詞：代數方法座標系幾何問題
在解幾何問題時，解題者利用初等幾何有關的定義、定理處理一般情況下還遠遠不夠，需要新增一定的輔助線，並且發掘題中的隱含條件等高技巧的特殊方法進行處理。由於結題者往往把自己的思維侷限在結合問題的單一的思維定勢中，因而對於較複雜的幾何題總是會推理論證思路不清，線索不明。
基於以上情況，本文提出一種全新的解題思路，即採用代數的方法來解決某些幾何問題。在解題時，將有關的幾何關係按照它們之間的聯絡用數量關係式表達後，通過建立直角座標系或極座標系轉化為座標形式加以解決，使解題的思路變得清晰簡單，同時可以化難為易。
代數方法即平面解析的方法，是借助平面座標系利用代數座標來研究平面圖形的性質。平面上建立座標系（直角座標系或極座標系）後，點與有序實數對（a，b）建立了一一對應關係，平面內的點均可用座標系表示出來，直線和圓分別對應與某確定的二元方程，從而平面圖形的性質可以表示為圖形上點的座標之間的關係，特別是代數關係，以此實現幾何問題與代數問題的相互轉化。
據此，代數方法求解幾何問題一般步驟為：
（1）選擇恰當的座標系，使題中某些點的座標、直線等的方程呈較簡單的代數表達形式.
（2）根據題目已知條件（必要時可以進行條件假設），運算求出相關的點的座標以及直線的方程.
（3）從已知條件出發， 以求證的結論為目標，通過定理公式運算、推理出要證的結果。
1.建立合適的直角座標系
例1 證明：三角形的三條高交於一點.
已知ad， ef， cf分別是△abc的三邊上的高， 求證：ad，be，cf相交於一點.
證明如圖1所示， 以bc邊x為軸， bc邊上的高ad為y軸建立直角座標系.不防設a， b， c的座標分別為a（0， a）b（b， 0）c（c，0）根據斜率公式得，kab=- ， kca=-，kbc=0 ， 又根據兩直線垂直的充要條件及直線點斜式方程， 容易求出三條高所在的直線方程分別為ad：x=0， be：
cx-ay-bc=0， cf：bx-ay-bc=0.
這三個方程顯然有公共解，x=0 ， y=-， 從而證明了三角形的三條高相交與一點。
例2 如圖2， 在abc中， ad⊥bd於d， 且cd=ab+bd，求證∠abc=2∠acb.
證明以bc， da所在直線為座標， 建立直角座標系， 設a（0， ）， b（-b，0）， d（0，0）， 則
ab= 由cd=ab+bd得出c點座標（b+ ，0）
故tan∠abc=kab=
又∠abc及∠acb均為銳角，
所以 ∠abc=2∠acb.
2.利用已知巧設引數
例3 m 為等腰△abc底邊ac的中點，mh⊥bc於h，p是mh的中點，求證：ah⊥bp.
證明如圖3，以點m為原點建立直角座標系，設ac=4，∠c=θ，則 a（-2，0），b（0，tanθ），h（2sin2θ，2sinθ·cosθ） ，故 p（sin2θ，sinθ·cosθ）則
故 ah⊥bp.
3.選擇合適的極座標系
例4 在∠a內有一定點p，過p作直線交兩邊於b、c，問+何時取到最大值？
解：以點p為原點，如圖4建立極座標系，設∠c=α+β，pa=ρ0，∠apb=θ，故 b（ρb，θ），c（ρc，π+θ）則
==由上式可知，當θ=90°，即ap⊥bc時，+取到最大值。
綜上所述，代數方法的關鍵在於通過建立合適的座標系（直角座標系或極座標系），把原來的幾何問題轉化成了代數（座標計算）問題.也就是借助於座標系，在點、線與陣列（方程）之間建立起對應關係，以此來實現幾何問題代數化.
在運用解析法證明初等幾何問題時，必須熟練掌握並善於使用在直角座標（極座標）下的有關公式、定理和方程，如兩點間的距離公式、定比分點公式、直線的斜率公式等，將所求問題轉化成數量化的座標形式化難為易。
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