平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。筆者在教學中總結了幾種方法，供中學生讀者參考。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。
［例1］如圖，c是線段ab上一點，△acd和△bce是等邊三角形。求證：ae=bd。
證明 ∵△acb和△bce都是等邊三角形
∴∠acd=60°，∠bce=60°，∠dce=60°
∴∠ace=∠acd＋∠dce=120°
∠bcd=∠bce＋∠dce=120°
∴ac=cd，ce=cb
∴△ace≌△dcb（sas）
∴ae=db
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，點e在ab上，點f在ac的延長線上，且be=cf，ef與bc交於d，求證：ed=df。
證明：過點e作eg//af交bc於點g
∴∠egb=∠acb，∠egd=∠fcd
∵ab=ac
∴∠b=∠acb，∠b=∠fgb，be=ge
∵be=cf，∴ge=cf
在△egd和△fcd中，
∠egd=∠fcd，∠edg=∠fdc，ge=cf
∴△egd≌△fcd（aas） ∴ed=fd
二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。
［例1］如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上的一點，且be=ac，延長be交ac於f。
求證：af=ef。
證明：延長ad到g，使dg=ad，鏈結bg。
∵ad=gd，∠adc=∠gdb，cd=bd
∴△adc≌△gdb
∴ac=gb，∠fae=∠bge
∵be=ac
∴be=bg，∠bge=∠beg
∴∠fae=∠bge=∠beg=∠aef
∴ae=ef
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，df⊥bc於f，df與ac交於e，與ba的延長線交於d，求證：ad=ae。
證明：∵df⊥bc
∴∠dfb=∠efc=90°，∠d=90°－∠b，∠cef=90°－∠c
∵ab=ac，∴∠b=∠c
∴∠d=∠cef
∵∠cef=∠aed
∴∠d=∠aed
∴ad=ae
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。
［例1］如圖，△abc中，∠c=90°，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe和正△acd，de與ab交於f，
求證：ef=fd。
證明：過d作do⊥ac交ab於點o
∵od垂直平分ac，∠acb=90°
∴bc⊥ac
∴o點必為ab的中點，鏈結eo，則eo⊥ab
∵∠cab=30°，∠bae=∠cad=60°
∴ad⊥ab，ae⊥ac
∴oe//ad，ae//od
∴四邊形odae為平行四邊形
∴ef=fd
［例2］如圖，ad是△abc的中線，過dc上任意一點f作eg//ab，與ac和ad的延長線分別交於g和e，fh//ac，交ab於點h。
求證：hg=be。
證明：延長ad到a」，使da」=ad
又∵bd=cd
∴四邊形baca」是平行四邊形
∴ba=a」c
由題設可知hfga也是平行四邊形
∴hf=ag
∵hf//ac，∴
又∵，hf=ag，ba=a」c
∴bh=eg
∴四邊形begh是平行四邊形
∴hg=be
四、利用中位線證明線段相等
如果已知中含有中點或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。
［例1］如圖，以△abc的邊ab、ac為斜邊向外作直角三角形abd和ace，且使∠abd=∠ace，m是bc的中點。
證明：dm=em。
證明：延長bd至f，使df=bd。
延長ce到g，使eg=ce，鏈結af、fc，鏈結ag、bg
∵bd=fd，∠adb=∠adf=90°，ad=ad
∴rt△abd≌rt△afd
∴∠bad=∠fad
同理可得：∠cae=∠gae
∵∠abd=∠ace
∴∠fab=∠gac，故∠fac=∠gab
在△abg和△afc中，
ab=af，∠gab=∠caf，ag=ac
∴△abg≌△afc
∴bg=fc
又∵df=db，ec=eg，m是bc的中點
∴dm==em，即dm=em
［例2］如圖，△abc中，∠c為直角，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd，de與ab交於f。
求證：ef=fd。
證明：過d作dg//ab交ea的延長線於g，可得∠dag=30°
∵∠bad=30°＋60°=90°
∴∠adg=90°
∵∠dag=30°=∠cab，ad=ac
∴rt△agd≌rt△abc
∴ag=ab，∴ag=ae
∵dg//ab
∴ef//fd
五、利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，並且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。
［例］如圖，正方形abcd中，e、f分別為ab、bc的中點，ec和df相交於g，連線ag，求證：ag=ad。
證明：作da、ce的延長線交於h
∵abcd是正方形，e是ab的中點
∴ae=be，∠aeh=∠bec
∠bec=∠eah=90°
∴△aeh≌△bec（asa）
∴ah=bc，ad=ah
又∵f是bc的中點
∴rt△dfc≌rt△ceb
∴∠dfc=∠ceb
∴∠gcf＋∠gfc=∠ecb＋∠ceb=90°
∴∠cgf=90°
∴∠dgh=∠cgf=90°
∴△dgh是rt△
∵ad=ah
∴ag==ad
幾何變換-軸對稱變換提高題
【知識提要】
1. 如果已知平面上直線和一點，自點作的垂線，垂足設為，在直線上、的另一側取點，使得，如圖所示，我們稱點是點關於直線的軸對稱點，或者說點與點關於直線為軸對稱，其中稱為對稱軸.
2. 圖形的每一點關於直線的對稱點組成的圖形，稱為關於軸的軸對稱圖形.把乙個圖形變為關於直線的軸對稱圖形的變換，叫作軸對稱變換(或反射變換)，直線稱為對稱軸(反射軸).
3. 我們容易想到，一條線段關於它的垂直平分線為軸對稱圖形，乙個角關於它的角平分線為軸對稱圖形.在幾何證題或解題時，如果圖形是軸對稱圖形，則經常要新增對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質；如果圖形不是軸對稱圖形，往往可選擇某直線為對稱軸，補為軸對稱圖形，或將對稱軸一側的圖形反射到該直線的另一側，以實現條件的相對集中.
4. 在幾何問題中有兩種常用而比較普遍的對稱圖形，它們是軸對稱圖形和中心對稱圖形.利用對稱性解題是解決幾何問題的有效方法之一，本講重點講解軸對稱圖形.
(1) 軸對稱變換：把乙個圖形變為關於某一直線為對稱軸的軸對稱圖形，這種變換稱為軸對稱變換.在幾何圖形中，如果是軸對稱圖形，則常新增對稱軸，以充分利用對稱的性質.
如等腰三角形、等腰梯形的對稱軸可以應用三線合一等；對於正方形、菱形，經常新增對角線等.
(2) 中心對稱變換：把乙個圖形繞著乙個定點按一定方向、乙個角度旋轉而得到另乙個圖形，這種變換稱為旋轉變換.特殊地，當旋轉角為時，稱為中心對稱變換.
平行四邊形是中心對稱圖形，矩形、菱形、正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.在對稱變換下，可使某些相關元素相對集中，為充分運用已知條件、轉化結論提供方便.
【例題精講】
【例1】在中，由點向邊引高線，垂足落在上，如果，求證：.
【解法1】如圖所示，以為對稱軸翻摺到的位置，則在上，，，.
在中，根據外角定理可知，
所以，故.
【解法2】以為對稱軸翻摺到的位置，
則，從而.
進而，而(由「翻摺」的特點決定)，
故.【解法3】回顧一下我們在第10講中所學的知識，可知，即.
注意到，
故，即，
亦即，故.
【點評】題設中的給了我們太多的聯想！我們不妨回憶一下第4講、第5講、第10講，看看是否還有其他解法(比如延長至，使).
【例2】如圖所示，在四邊形中，，，求證：.
【解析】注意到，這提示我們可以進行對稱變換以「創造」出角.
以為對稱軸將翻摺到的位置，連線.則，，
故為等邊三角形.
從而，等號成立時平分.
【變式】如圖所示，在中，，、為的兩條高，求證：.
【解法1】將改寫為，可形成下面的思路：
的平分線記為，作點關於的對稱點，作點關於的對稱點，過點作的垂線，因為，，
而，故.
【解法2】我們用「分析法」尋求思路：
.注意到，，，
故.而由、.
【例3】如圖所示，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積.
【解析】直接計算四邊形的面積有困難，注意到，我們以的垂直平分線為對稱軸，作的關於的軸對稱圖形，從而可以將角度集中.
，，，，
所以，因此，是直角三角形.
由勾股定理求得.
在中，，，.
而.由勾股定理的逆定理可知.
.【變式】在凸四邊形中，,.如果厘公尺，求四邊形的面積.
【解析】如圖所示，以邊上的中垂線為對稱軸作的軸對稱圖形，
則，，，
故、、共線.
又因為，
由可知，
而，故.
因此，是等腰直角三角形.
故.【例4】已知點是四邊形的邊的中點，且,證明：.
【解析】顯然，要證題設的不等式，應當把，，三條線段首尾連線成一條折線，然後再與線段比較.要實現這一構想，折線之首端應與點重合，尾端應與點重合，這可由軸對稱來實現.
以為對稱軸，作點關於的對稱點，連線、，
則，，即≌，由此.
再以為對稱軸，作點關於的對稱點，連線、，
則，，即≌，由此.
而，所以.
注意到，
因此，而，所以是等邊三角形，.
由於兩點之間以直線段為最短，所以，
即.【變式】設是凸四邊形的邊的中點，，求證：.
熟練運用旋轉解決平面幾何中的問題
平面幾何的證題方法多種多樣．利用旋轉來解決平面幾何問題，有時能收到事半功倍的效果．
例圖1中以△abc的邊ab、ac為一邊向外作正方形abde及正方形acfg，鏈結bg、ce．
求證：(1)bg=ce；(2)bg⊥ce．
分析：一般的證法是證明△abg與△aec全等，然後應用全等三角形的性質。而如果採用旋轉，則可以如下證明：
由已知可知，點e繞點a逆時針旋轉90°為點b，點c繞點a逆時針旋轉90°為點g，從而知線段ec繞點a逆時針旋轉90°為線段bg，故有bg=ce，bg⊥ce．本文將從最常見的兩種旋轉出發，談談旋轉在平面幾何中的應用。
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