一、 塞瓦定理
1．塞瓦定理及其證明
定理：在abc內一點p，該點與abc的三個頂點相連所在的三條直線分別交abc三邊ab、bc、ca於點d、e、f，且d、e、f三點均不是abc的頂點，則有
證明：運用面積比可得．
根據等比定理有
，所以．同理可得，．
三式相乘得．
注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是「等高」還是「等底」，這樣就可以產生出「邊之比」．
2．塞瓦定理的逆定理及其證明
定理：在abc三邊ab、bc、ca上各有一點d、e、f，且d、e、f均不是abc的頂點，若，那麼直線cd、ae、bf三線共點．
證明：設直線ae與直線bf交於點p，直線cp交ab於點d/，則據塞瓦定理有
． 因為，所以有．由於點d、d/都**段ab上，所以點d與d/重合．即得d、e、f三點共線．
注：利用唯一性，採用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．
二、 梅涅勞斯定理
3．梅涅勞斯定理及其證明
定理：一條直線與abc的三邊ab、bc、ca所在直線分別交於點d、e、f，且d、e、f均不是abc的頂點，則有
．證明：如圖，過點c作ab的平行線，交ef於點g．
因為cg // ab，所以————（1）
因為cg // ab，所以————（2）
由（1）÷（2）可得，即得．
注：新增的輔助線cg是證明的關鍵「橋梁」，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再拆去「橋梁」（cg）使得命題順利獲證．
4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明
定理：在abc的邊ab、bc上各有一點d、e，在邊ac的延長線上有一點f，若，
那麼，d、e、f三點共線．
證明：設直線ef交ab於點d/，則據梅涅勞斯定理有
．因為，所以有．由於點d、d/都**段ab上，所以點d與d/重合．即得d、e、f三點共線．
注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似後面的規律．
三、 托勒密定理
5．托勒密定理及其證明
定理：凸四邊形abcd是某圓的內接四邊形，則有
ab·cd + bc·ad = ac·bd．
證明：設點m是對角線ac與bd的交點，**段bd上找一點，使得dae =bam．
因為adb =acb，即ade =acb，所以ade∽acb，即得
，即————（1）
由於dae =bam，所以dam =bae，即dac =bae。而abd =acd，即abe =acd，所以abe∽acd．即得
，即————（2）
由（1）+（2）得
．所以ab·cd + bc·ad = ac·bd．
注：巧妙構造三角形，運用三角形之間的相似推得結論．這裡的構造具有特點，不容易想到，需要認真分析題目並不斷嘗試．
6．托勒密定理的逆定理及其證明
定理：如果凸四邊形abcd滿足ab×cd + bc×ad = ac×bd，那麼a、b、c、d四點共圓．
證法1（同一法）：
在凸四邊形abcd內取一點e，使得，，則∽．
可得ab×cd = be×ac ———（1）
且2）則由及（2）可得∽．於是有
ad×bc = de×ac ———（3）
由（1）+（3）可得 ab×cd + bc×ad = ac×( be + de )．
據條件可得 bd = be + de，則點e**段bd上．則由，得，這說明a、b、c、d四點共圓．
證法2（構造轉移法）
延長da到a/，延長db到b/，使a、b、b/、a/四點共圓．延長dc到c/，使得b、c、c/、b/四點共圓．（如果能證明a/、b/、c/共線，則命題獲證）
那麼，據圓冪定理知a、c、c/、a/四點也共圓．
因此，，．
可得.另一方面，，即．
欲證=，即證
即．據條件有，所以需證
， 即證，這是顯然的．所以，，即a/、b/、c/共線．所以與互補．由於，，所以與互補，即a、b、c、d四點共圓．
7．托勒密定理的推廣及其證明
定理：如果凸四邊形abcd的四個頂點不在同乙個圓上，那麼就有
ab×cd + bc×ad > ac×bd
證明：如圖，在凸四邊形abcd內取一點e，使得，，則∽．
可得ab×cd = be×ac ————（1）
且 ————（2）
則由及（2）可得∽．於是
ad×bc = de×ac ————（3）
由（1）+（3）可得 ab×cd + bc×ad = ac×( be + de )
因為a、b、c、d四點不共圓，據托勒密定理的逆定理可知
ab×cd + bc×adac×bd
所以be + debd，即得點e不**段bd上，則據三角形的性質有be + de > bd．
所以ab×cd + bc×ad > ac×bd．
四、 西姆松定理
8．西姆松定理及其證明
定理：從abc外接圓上任意一點p向bc、ca、ab或其延長線引垂線，垂足分別為d、e、f，則d、e、f三點共線．
證明：如圖示，連線pc，連線 ef 交bc於點d/，連線pd/．
因為peae，pfaf，所以a、f、p、e四點共圓，可得fae =fep．
因為a、b、p、c四點共圓，所以bac =bcp，即fae =bcp．
所以， fep =bcp，即d/ep =d/cp，可得c、d/、p、e四點共圓．
所以， cd/p +cep = 1800。而cep = 900，所以cd/p = 900，即pd/bc．
由於過點p作bc的垂線，垂足只有乙個，所以點d與d/重合，即得d、e、f三點共線．
注：（1）採用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地呼叫題設條件．但需注意運用同一法證明時的唯一性．
（2）反覆運用四點共圓的性質是解決此題的關鍵，要掌握好四點共圓的運用手法．
五、 尤拉定理
9．尤拉定理及其證明
定理：設δabc的重心、外心、垂心分別用字母g、o、h表示．則有g、o、h三點共線（尤拉線），且滿足．
證明（向量法）：連bo並延長交圓o於點d。連線cd、ad、hc，設e為邊bc的中點，連線oe和oc．則
因為 cd⊥bc，ah⊥bc，所以 ah // cd．同理ch // da．
所以，ahcd為平行四邊形．
從而得．而，所以．
因為，所以——— ②
由①②得： ———— ③
另一方面，．
而，所以
由③④得：．結論得證．
注：（1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現手法；
（2）此題也可用純幾何法給予證明．
又證（幾何法）：連線oh，ae，兩線段相交於點g/；連bo並延長交圓o於點d；連線cd、ad、hc，設e為邊bc的中點，連線oe和oc，如圖．
因為 cd⊥bc，ah⊥bc，所以 ah // cd．同理ch // da．
所以，ahcd為平行四邊形．
可得ah = cd．而cd = 2oe，所以ah = 2oe．
因為ah // cd，cd // oe，所以ah // oe．可得ahg/∽eog/．所以
．由，及重心性質可知點g/就是abc的重心，即g/與點g重合．
所以，g、o、h三點共線，且滿足．
六、 蝴蝶定理
10．蝴蝶定理及其證明
定理：如圖，過圓中弦ab的中點m任引兩弦cd和ef，連線cf和ed，分別交ab於p、q，則pm = mq．
證明：過點m作直線ab的垂線l，作直線cf關於直線l的對稱直線交圓於點c/、f/，交線段ab於點q/．連線ff/、df/、q/f/、dq/．據圓的性質和圖形的對稱性可知：
mf/q/ =mfp， f/q/m =fpm；
且ff/ // ab，pm = mq/．
因為c、d、f/、f四點共圓，所以
cdf/ +cff/ = 1800，
而由ff/ // ab可得q/pf +cff/ = 1800，所以
cdf/ =q/pf，即mdf/ =q/pf．
又因為q/pf =pq/f/，即q/pf =mq/f/．所以有
mdf/ =mq/f/．
這說明q/、d、f/、m四點共圓，即得mf/q/ =q/dm．
因為mf/q/ =mfp，所以mfp =q/dm．而mfp =edm，所以edm =q/dm．這說明點q與點q/重合，即得pm = mq．
此定理還可用解析法來證明：
想法：設法證明直線de和cf在x軸上的截距互為相反數．
證：以ab所在直線為x軸，線段ab的垂直平分線為y軸建立直角座標系，m點是座標原點．
設直線de、cf的方程分別為
x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；
直線cd、ef的方程分別為
y = k1 x ，y = k2 x ．
則經過c、d、e、f四點的曲線系方程為
(y –k1 x )(y –k2 x)+ (x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．
整理得k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+ (m1+m2)]xy
–(n1+n2)x+ (n1m2+n2m1)y+n1n2=0．
由於c、d、e、f四點在乙個圓上，說明上面方程表示的是乙個圓，所以必須
k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0，
且 (k1+k2)+ (m1+m2)=0．
若=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故≠0；
又y軸是弦ab的垂直平分線，則圓心應落在y軸上，故有( n1 + n2 ) = 0，從而得n1 + n2 = 0．
這說明直線de、cf在x軸上的截距互為相反數，即得pm = mq．
注：利用曲線系方程解題是座標法的一大特點，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經組合就魔術般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運用它解題，不拘泥於小處，能夠從整體上去考慮問題．
另外，待定係數法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．
平面幾何中幾個重要定理的證明
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