一、 塞瓦定理
1.塞瓦定理及其證明
定理:在abc內一點p,該點與abc的三個頂點相連所在的三條直線分別交abc三邊ab、bc、ca於點d、e、f,且d、e、f三點均不是abc的頂點,則有
證明:運用面積比可得.
根據等比定理有
,所以.同理可得,.
三式相乘得.
注:在運用三角形的面積比時,要把握住兩個三角形是「等高」還是「等底」,這樣就可以產生出「邊之比」.
2.塞瓦定理的逆定理及其證明
定理:在abc三邊ab、bc、ca上各有一點d、e、f,且d、e、f均不是abc的頂點,若,那麼直線cd、ae、bf三線共點.
證明:設直線ae與直線bf交於點p,直線cp交ab於點d/,則據塞瓦定理有
. 因為,所以有.由於點d、d/都**段ab上,所以點d與d/重合.即得d、e、f三點共線.
注:利用唯一性,採用同一法,用上塞瓦定理使命題順利獲證.
二、 梅涅勞斯定理
3.梅涅勞斯定理及其證明
定理:一條直線與abc的三邊ab、bc、ca所在直線分別交於點d、e、f,且d、e、f均不是abc的頂點,則有
.證明:如圖,過點c作ab的平行線,交ef於點g.
因為cg // ab,所以————(1)
因為cg // ab,所以————(2)
由(1)÷(2)可得,即得.
注:新增的輔助線cg是證明的關鍵「橋梁」,兩次運用相似比得出兩個比例等式,再拆去「橋梁」(cg)使得命題順利獲證.
4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明
定理:在abc的邊ab、bc上各有一點d、e,在邊ac的延長線上有一點f,若,
那麼,d、e、f三點共線.
證明:設直線ef交ab於點d/,則據梅涅勞斯定理有
.因為,所以有.由於點d、d/都**段ab上,所以點d與d/重合.即得d、e、f三點共線.
注:證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍,注意分析其相似後面的規律.
三、 托勒密定理
5.托勒密定理及其證明
定理:凸四邊形abcd是某圓的內接四邊形,則有
ab·cd + bc·ad = ac·bd.
證明:設點m是對角線ac與bd的交點,**段bd上找一點,使得dae =bam.
因為adb =acb,即ade =acb,所以ade∽acb,即得
,即————(1)
由於dae =bam,所以dam =bae,即dac =bae。而abd =acd,即abe =acd,所以abe∽acd.即得
,即————(2)
由(1)+(2)得
.所以ab·cd + bc·ad = ac·bd.
注:巧妙構造三角形,運用三角形之間的相似推得結論.這裡的構造具有特點,不容易想到,需要認真分析題目並不斷嘗試.
6.托勒密定理的逆定理及其證明
定理:如果凸四邊形abcd滿足ab×cd + bc×ad = ac×bd,那麼a、b、c、d四點共圓.
證法1(同一法):
在凸四邊形abcd內取一點e,使得,,則∽.
可得ab×cd = be×ac ———(1)
且2)則由及(2)可得∽.於是有
ad×bc = de×ac ———(3)
由(1)+(3)可得 ab×cd + bc×ad = ac×( be + de ).
據條件可得 bd = be + de,則點e**段bd上.則由,得,這說明a、b、c、d四點共圓.
證法2(構造轉移法)
延長da到a/,延長db到b/,使a、b、b/、a/四點共圓.延長dc到c/,使得b、c、c/、b/四點共圓.(如果能證明a/、b/、c/共線,則命題獲證)
那麼,據圓冪定理知a、c、c/、a/四點也共圓.
因此,,.
可得.另一方面,,即.
欲證=,即證
即.據條件有,所以需證
, 即證,這是顯然的.所以,,即a/、b/、c/共線.所以與互補.由於,,所以與互補,即a、b、c、d四點共圓.
7.托勒密定理的推廣及其證明
定理:如果凸四邊形abcd的四個頂點不在同乙個圓上,那麼就有
ab×cd + bc×ad > ac×bd
證明:如圖,在凸四邊形abcd內取一點e,使得,,則∽.
可得ab×cd = be×ac ————(1)
且 ————(2)
則由及(2)可得∽.於是
ad×bc = de×ac ————(3)
由(1)+(3)可得 ab×cd + bc×ad = ac×( be + de )
因為a、b、c、d四點不共圓,據托勒密定理的逆定理可知
ab×cd + bc×adac×bd
所以be + debd,即得點e不**段bd上,則據三角形的性質有be + de > bd.
所以ab×cd + bc×ad > ac×bd.
四、 西姆松定理
8.西姆松定理及其證明
定理:從abc外接圓上任意一點p向bc、ca、ab或其延長線引垂線,垂足分別為d、e、f,則d、e、f三點共線.
證明:如圖示,連線pc,連線 ef 交bc於點d/,連線pd/.
因為peae,pfaf,所以a、f、p、e四點共圓,可得fae =fep.
因為a、b、p、c四點共圓,所以bac =bcp,即fae =bcp.
所以, fep =bcp,即d/ep =d/cp,可得c、d/、p、e四點共圓.
所以, cd/p +cep = 1800。而cep = 900,所以cd/p = 900,即pd/bc.
由於過點p作bc的垂線,垂足只有乙個,所以點d與d/重合,即得d、e、f三點共線.
注:(1)採用同一法證明可以變被動為主動,以便充分地呼叫題設條件.但需注意運用同一法證明時的唯一性.
(2)反覆運用四點共圓的性質是解決此題的關鍵,要掌握好四點共圓的運用手法.
五、 尤拉定理
9.尤拉定理及其證明
定理:設δabc的重心、外心、垂心分別用字母g、o、h表示.則有g、o、h三點共線(尤拉線),且滿足.
證明(向量法):連bo並延長交圓o於點d。連線cd、ad、hc,設e為邊bc的中點,連線oe和oc.則
因為 cd⊥bc,ah⊥bc,所以 ah // cd.同理ch // da.
所以,ahcd為平行四邊形.
從而得.而,所以.
因為,所以——— ②
由①②得: ———— ③
另一方面,.
而,所以
由③④得:.結論得證.
注:(1)運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法,而且有其獨特之處,注意掌握向量對幾何問題的表現手法;
(2)此題也可用純幾何法給予證明.
又證(幾何法):連線oh,ae,兩線段相交於點g/;連bo並延長交圓o於點d;連線cd、ad、hc,設e為邊bc的中點,連線oe和oc,如圖.
因為 cd⊥bc,ah⊥bc,所以 ah // cd.同理ch // da.
所以,ahcd為平行四邊形.
可得ah = cd.而cd = 2oe,所以ah = 2oe.
因為ah // cd,cd // oe,所以ah // oe.可得ahg/∽eog/.所以
.由,及重心性質可知點g/就是abc的重心,即g/與點g重合.
所以,g、o、h三點共線,且滿足.
六、 蝴蝶定理
10.蝴蝶定理及其證明
定理:如圖,過圓中弦ab的中點m任引兩弦cd和ef,連線cf和ed,分別交ab於p、q,則pm = mq.
證明:過點m作直線ab的垂線l,作直線cf關於直線l的對稱直線交圓於點c/、f/,交線段ab於點q/.連線ff/、df/、q/f/、dq/.據圓的性質和圖形的對稱性可知:
mf/q/ =mfp, f/q/m =fpm;
且ff/ // ab,pm = mq/.
因為c、d、f/、f四點共圓,所以
cdf/ +cff/ = 1800,
而由ff/ // ab可得q/pf +cff/ = 1800,所以
cdf/ =q/pf,即mdf/ =q/pf.
又因為q/pf =pq/f/,即q/pf =mq/f/.所以有
mdf/ =mq/f/.
這說明q/、d、f/、m四點共圓,即得mf/q/ =q/dm.
因為mf/q/ =mfp,所以mfp =q/dm.而mfp =edm,所以edm =q/dm.這說明點q與點q/重合,即得pm = mq.
此定理還可用解析法來證明:
想法:設法證明直線de和cf在x軸上的截距互為相反數.
證:以ab所在直線為x軸,線段ab的垂直平分線為y軸建立直角座標系,m點是座標原點.
設直線de、cf的方程分別為
x = m1 y + n 1,x = m2 y + n 2;
直線cd、ef的方程分別為
y = k1 x ,y = k2 x .
則經過c、d、e、f四點的曲線系方程為
(y –k1 x )(y –k2 x)+ (x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0.
整理得k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+ (m1+m2)]xy
–(n1+n2)x+ (n1m2+n2m1)y+n1n2=0.
由於c、d、e、f四點在乙個圓上,說明上面方程表示的是乙個圓,所以必須
k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0,
且 (k1+k2)+ (m1+m2)=0.
若=0,則k1k2=1,k1+k2=0,這是不可能的,故≠0;
又y軸是弦ab的垂直平分線,則圓心應落在y軸上,故有( n1 + n2 ) = 0,從而得n1 + n2 = 0.
這說明直線de、cf在x軸上的截距互為相反數,即得pm = mq.
注:利用曲線系方程解題是座標法的一大特點,它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題.如本題,四條直線方程一經組合就魔術般地變成了圓方程,問題瞬息間得以解決,真是奇妙.運用它解題,不拘泥於小處,能夠從整體上去考慮問題.
另外,待定係數法在其中扮演了非常重要的角色,需注意掌握其用法.
平面幾何中幾個重要定理的證明
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