pxt費馬大定理：乙個正整數的三次以上的冪不能分為兩正整數的同次冪之和。即不定方程當n≥3時無正整數解。
證明： 當n=2時，有
1） 設則代入（1）得
當n=3時，有
2） 設則代入（2）得
設 （3）
則4）5）
若z,y的公約數為k,即 (z,y)=k ，k>1時，方程兩邊可以除以，下面分析k=1 即（z,y）=1 , 方程的正整數解
因為（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,為正整數時，x,y,z可能有正整數解，由（3）得
6)∵ y, m,都取正整數，
∴∴ ∴ y沒有形如y的正整數解。
又∵（6）式左邊分解為y和y的（3－2）次式，右邊分解為和的（3－1）次式，且y, m,都取正整數，如果y=,則，如果，則y>.
∴不能同時成立
∴ y沒有形如的正整數解
若 =ab , =cd (a,b,c,d為正整數)可得相應方程組或或這些方程組裡的m,沒有正整數解，若有正整數解，則與y沒有形如或的正整數解矛盾。
又 ∵在m,取正整數的條件下，y可取到任意正整數
∴ y沒有正整數解。
∴ 當n=3時，方程無正整數解。
當n>3時，
7）令則代入（7）得 設
8）則9）
10）若z,y的公約數為k,即 (z,y)=k ，k>1時，方程兩邊可以除以，下面分析k=1 即（z,y）=1 , 方程的正整數解
因為（z,y）=1，分析（7），（8），（9），（10）式，只有m,為正整數時，x,y,z可能有正整數解，由（8）得
(11)
簡記為 y f()=f()
∵ y, m,都取正整數。
∴y< f ∴ = f()
∴ y沒有形如y= f()的正整數解。
又∵（11）式左邊分解為y和y的（n－2）次式，右邊分解為和的（n－1）次式，且y, m,都取正整數，如果y=,則f()
∴和f()=f()不能同時成立。
∴ y沒有形如的正整數解。
若=ab , f()=cd (a,b,c,d為正整數)可得相應方程組或或這些方程組裡的m,沒有正整數解，若有正整數解，則與y沒有形如或y= f()的正整數解矛盾。
又 ∵在m,取正整數的條件下，y可取到任意正整數
∴ y沒有正整數解。
∴ 當n>3時，方程無正整數解。
定理得證。
費馬大定理的初等巧妙證明 完全版
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