求證：當正整數n＞2時，不定方程zn = xn + yn沒有正整數解。
證明：因為不定方程zn = yn + xn有正整數解則( kz )n = ( kx )n + ( ky )n（k為正整數）也有正整數解，各倍數解組中均必有一組最小的正整數，所以假設( x ，y ) = 1使
zn = yn + xn1）
正整數等式成立。
將（1）式變形為zn - xn = yn 兩邊同除以yn得：
()n - ()n = 12）
(- )[()n-1 + ()n-2 +…+ () n-2 + ()n-1] = 1
依據約數分析法，因為z > x，所以等式左邊兩個因式均為正數，只存在兩種可能：一是兩個因式均等於正1約數，由- = 1推出 ( x + y )n > xn + yn = zn這種情形等式不能成立；二則兩個因式必是互為正倒數約數，設正整數 a 、b，且 ( a ，b ) = 1，於是得到兩個「約數式」和「餘約數式」：
3）()n-1 + ()n-2 +…+ ()n-14）
因而（3）式「約數式」與（4）式「餘約數式」為（2）式僅能分解的互為倒數等式。
由（3）式得= + 代入（2）式：
(+ )n - ()n = 1
( ) ()n-1 + ()2()n-2 +…+ ()n-1() + ()n = 1
（3）式等式兩邊分母 y → a 對應，由分數性質必有y含a因子。設y = ay1代入上式
並除以b化簡得：
xn-1+by1xn-2+ … +bn-2y1n-2x + bn-1y1n-1 = an…………（5）
又將y = ay1代入（3）式、（4）式化簡得：
z - x = by16）
zn-1 + xzn-2 + … + x n-2z + xn-1 = an7）
（4）式等式兩邊分母yn-1→ b對應，由分數性質必有yn-1含b 因子，yn-1 = ( ay1)n-1，有y1n-1含b 因子。在（5）式右邊項中b整除y1n-1只存在= 1或者》 1兩個條件取值，並需明確b與= n的相互關係。
當= 1時，b一定不含n的因子（n或n的質數因子、合數因子等），如果b含n的因子則等式左邊n和b含n的因子與右邊a互質，等式不能成立。這時b = y1n-1設正整數c令y1 = c，b = cn-1，使（6）式、（7）式得：
z - (x + cn) = 08）
zn-1+ xzn-2 + … + xn-2z + (xn-1- an) = 09）
當》 1時，必餘y1的因子，（5）式左邊除xn-1項外其它各項均含y1因子並與xn-1互質，餘y1的因子只能與n相約，即y1含n的因子，（5）式各項約去所含n的因子使至少兩項不含n的相同因子等式成立。因為yn含y1n因子，y1n含n的因子必是n次冪數，如果餘n的因子為nipi，則by1含n的因子即為nin-pi，這時b可不含n的因子或含n的某個因子等等，使有不同n的余因子並有不同多個等式成立，但均同理。因此令= nipi，b = cn -1ni n - pi -1，y1 = cni，使（6）式、（7）式得：
z - (x + cnnin-pi) = 010）
zn-1 + xzn-2 +…+ (xn-1 - annipi) = 011）
同理，如果以xn為分解物件亦是這樣相同的結果，因為在形式上yn、xn是可以等價互換的。如果yn與xn不等價互換即各自是定數分別為分解物件，則同樣得到相應形式的（8）式、（9）式或（10）式、（11）式的正整數解結果。所以y = ac或y = acni兩個正整數的不同解值使（8）式、（9）式和（10）式、（11）式是（2）式分解為有確定正整數解成立的等式，含括了全部有正整數解的情形，也是（1）式有正整數解的確定性條件。
由（8）式z = x + cn及y = ac使（1）式為方根n次方式：
zn = xn + (ac)n = (x + cn)n
這時x、c為正整數便確定了a的唯一正整數方根
a = n
則有z = (±) (x + cn) ≡ n （n：奇數 + ；偶數 ±）
等式f（z：x，c）≡ q（z：x，c， a）的方根使（1）式成立，存在z = x + cn唯一正整數方根。
所以（8）式是（2）式的「方根約數式」，相應（9）式是（2）式約去方根約數的「方根餘約數式」。
同理，（10）式是（2）式分解約數另一解值的「方根約數式」，相應（11）式是（2）式約去這一解值方根約數的「方根餘約數式」。
這就證明了關於「z」的正整數解（8）式或（10）式一定是方根，其有正整數方根解是（1）式有正整數解的必要性條件。
根據方根存在唯一性定理，推論「方根餘約數式」也是唯一性的，所以由（8）式方根n次方式zn = (x + cn)n約去方根約數的「方根餘約數式」為：
zn-1 - (x + cn)n-1 = 012）
使zn = xn + yn與zn = (x + cn)n推出的「方根餘約數式」為唯一性的，有（9）式 ≡（12）式。由多項式恒等定理，（9）式、（12）式關於「z」的非首項係數及常數項對應相等：
x = 0，x2 = 0，… ，xn-2 = 0，xn-1- an = - (x + cn)n-1
當n＞2時，（9）式、（12）式必有至少一項關於「z」的非首項對應係數項等式存
在，只有x = 0才有（9）式 ≡（12）式成立；常數項an = ( cn )n-1= ( cn-1) n即
a = cn-1 = b
所以（3）式、（4）式得z = y。（9）式不是「方根餘約數式」，（8）式是正整數方根解不成立。
由（10）式方根n次方式zn = (x + cn nin-pi)n約去方根約數的「方根餘約數式」為：
zn-1 - (x + cn nin-pi)n-1 = 013）
有（11）式 ≡（13）式，關於「z」的非首項係數及常數項對應相等：
x = 0，x2 = 0，… ， xn-2 = 0，xn-1- annipi = - (x+ cn nin-pi)n-1
當n＞2時，與（9）式、（12）式同理，只能有x = 0；常數項annipi = (cn nin-pi)n-1得an = (cn-1ni n– pi -1)n即
a = c n-1ni n– pi -1 = b
所以（3）式、（4）式得z = y。（11）式不是「方根餘約數式」，（10）式是正整數方根解不成立。
通過對假設（1）式為正整數等式成立所求得的（8）式、（10）式正整數「方根約數式」的檢驗，當n＞2時兩式不是正整數方根解，（9）式、（11）式不是「方根餘約數式」。所以當正整數n＞2時，不定方程zn = xn + yn沒有正整數解。
約數分析法：把不定方程進行因式分解，然後通過對約數進行分析來求出方程的解。《中學數學中的整數問題》（天津市數學會編天津科學技術出版社 2023年4月）第122 - 125頁闡述了這種解不定方程的方法，一些資料中又叫因數分析法或因子分解法。
方根存在唯一性定理：對於任何非負實數a，存在唯一的非負實數r，它的n次冪等於a，即rn = a。《中學代數教學法》（陳森林編著湖北人民出版社 2023年8月）第203 - 205頁具體證明了這個「方根存在定理」和它的「唯一性」。
多項式恒等定理：多項式恒等的充要條件是它們的次數相同且同次項係數對應相等。《中學代數教學法》第130頁闡述了這個定理，中國校聯網《多項式》文中給出了詳細證明。
王德忱）
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