考情解讀 1.以數表、數陣、圖形為背景與數列、週期性等知識相結合考查歸納推理和模擬推理，多以小題形式出現.2.
直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函式、數列及不等式等綜合命題．
1．合情推理
(1)歸納推理
①歸納推理是由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．
②歸納推理的思維過程如下：
→→(2)模擬推理
①模擬推理是由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理．
②模擬推理的思維過程如下：
→→2．演繹推理
(1)「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
(2)合情推理與演繹推理的區別
歸納和模擬是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理；模擬是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確．
3．直接證明
(1)綜合法
用p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：
→→→…→
(2)分析法
用q表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為：
→→→…→
4．間接證明
反證法的證明過程可以概括為「否定——推理——否定」，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛
盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題「若p，則q」的過程可以用如圖所示的框圖表示．
→→→5．數學歸納法
數學歸納法證明的步驟：
(1)證明當n取第乙個值n0(n0∈n*)時命題成立．
(2)假設n＝k(k∈n*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立．
由(1)(2)可知，對任意n≥n0，且n∈n*時，命題都成立．
熱點一歸納推理
例1 (1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是( )
a．26 b．31
c．32 d．36
(2)兩旅客坐火車外出旅遊，希望座位連在一起，且有乙個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是( )
a．48,49 b．62,63
c．75,76 d．84,85
思維啟迪 (1)根據三個圖案中的正六邊形個數尋求規律；(2)靠視窗的座位號碼能被5整除或者被5除餘1.
答案 (1)b (2)d
解析 (1)有菱形紋的正六邊形個數如下表：
由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數依次組成乙個以6為首項，以5為公差的等差數列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是6＋5×(6－1)＝31.
故選b.
(2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除餘1的數和能被5整除的座位號臨窗，由於兩旅客希望座位連在一起，且有乙個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有d符合條件．
思維昇華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然後予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是「觀察——歸納——猜想——證明」，解題的關鍵在於正確的歸納猜想．
(1)四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上(如圖)，第一次前後排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…這樣交替進行下去，那麼第202次互換座位後，小兔坐在第______號座位上．
開始第一次
第二次第三次
a．1 b．2
c．3 d．4
(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈n*)，經計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有
答案 (1)b (2)f(2n)> (n≥2，n∈n*)
解析 (1)考慮小兔所坐的座位號，第一次坐在1號位上，第二次坐在2號位上，第三次坐在4號位上，第四次坐在3號位上，第五次坐在1號位上，因此小兔的座位數更換次數以4為週期，因為202＝50×4＋2，因此第202次互換後，小兔所在的座位號與小兔第二次互換座位號所在的座位號相同，因此小兔坐在2號位上，故選b.
(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，
f(25)>，所以當n≥2時，有f(2n)>.
故填f(2n)> (n≥2，n∈n*)．
熱點二模擬推理
例2 (1)在平面幾何中有如下結論：若正三角形abc的內切圓面積為s1，外接圓面積為s2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結論：
若正四面體abcd的內切球體積為v1，外接球體積為v2，則
(2)已知雙曲正弦函式shx＝和雙曲余弦函式chx＝與我們學過的正弦函式和余弦函式有許多類似的性質，請模擬正弦函式和余弦函式的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函式的乙個類似的正確結論________．
思維啟迪 (1)平面幾何中的面積可模擬到空間幾何中的體積；(2)可利用和角或差角公式猜想，然後驗證．
答案 (1) (2)ch(x－y)＝chx chy－shx shy
解析 (1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝.
(2)chx chy－shx shy＝·－·
＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)
＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy，
或sh(x－y)＝shx chy－chx shy，
或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy.
思維昇華模擬推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生模擬遷移的客觀因素，模擬可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的模擬，也可以由解題方法上的類似引起．當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的模擬，例2即屬於此類題型．一般來說，高考中的模擬問題多發生在橫向與縱向模擬上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向模擬以及平面與空間中三角形與三稜錐的縱向模擬等．
(1)若數列是等差數列，bn＝，則數列也為等差數列．模擬這一性質可知，若正項數列是等比數列，且也是等比數列，則dn的表示式應為( )
a．dn＝
b．dn＝
c．dn＝
d．dn＝
(2)橢圓與雙曲線有許多優美的對偶性質，如對於橢圓有如下命題：ab是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab＝－.那麼對於雙曲線則有如下命題：
ab是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab
答案 (1)d (2)
解析 (1)由為等差數列，設公差為d，
則bn＝＝a1＋d，
又正項數列為等比數列，設公比為q，
則dn＝＝＝c1，故選d.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，
則有將a，b代入雙曲線－＝1中得
－＝1，－＝1，
兩式相減，得＝，
即＝，即＝，
即kom·kab＝.
熱點三直接證明和間接證明
例3 已知數列滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數列滿足：
bn＝a－a (n≥1)．
(1)求數列，的通項公式；
(2)證明：數列中的任意三項不可能成等差數列．
思維啟迪 (1)利用已知遞推式中的特點構造數列；(2)否定性結論的證明可用反證法．
(1)解已知＝化為＝，
而1－a＝，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
則1－a＝×n－1，則a＝1－×n－1，
由anan＋1<0，知數列的項正負相間出現，
因此an＝(－1)n＋1，
bn＝a－a＝－×n＋×n－1
＝×n－1.
(2)證明假設存在某三項成等差數列，不妨設為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數，可設m而bn＝×n－1隨n的增大而減小，
那麼只能有2bn＝bm＋bp，
可得2××n－1＝×m－1＋×p－1，
則2×n－m＝1＋p－m.(*)
當n－m≥2時，2×n－m≤2×2＝，(*)式不可能成立，則只能有n－m＝1，
此時等式為＝1＋p－m，
即＝p－m，那麼p－m＝log，左邊為正整數，右邊為無理數，不可能相等．
所以假設不成立，那麼數列中的任意三項不可能成等差數列．
思維昇華 (1)有關否定性結論的證明常用反證法或舉出乙個結論不成立的例子即可．
(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然後用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用．
等差數列的前n項和為sn，a1＝1＋，s3＝9＋3.
2019高考數學理二輪專題突破 3 3推理與證明
高考考情解讀 1.高考主要考查對合情推理和演繹推理的理解及應用 直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函式 數列 不等式 解析幾何等綜合命題 數學歸納法是證明與正整數有關的數學命題的正確性的一種嚴格的推理方法 考查 歸納 猜想 證明 的模式，常與數列結合考查.2.歸納推理和模...
高考數學 理 二輪專題練習 3 立體幾何中的向量方法 含答案
考情解讀 1.以多面體 特別是稜柱 稜錐或其組合體 為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現在解答題的第 1 問中，考查空間想象能力，推理論證能力及計算能力，屬低中檔問題.2.以多面體 特別是稜柱 稜錐或其組合體 為載體，考查空間角 主要是線面角和二面角 的計算，是高考的必考內容，屬中檔題.3.以...
高考數學 理 二輪專題練習 2 不等式與線性規劃 含答案
考情解讀 1.在高考中主要考查利用不等式的性質進行兩數的大小比較 一元二次不等式的解法 基本不等式及線性規劃問題 基本不等式主要考查求最值問題，線性規劃主要考查直接求最優解和已知最優解求引數的值或取值範圍問題.2.多與集合 函式等知識交匯命題，以選擇 填空題的形式呈現，屬中檔題 1 四類不等式的解法...