數列是高考的重點、難點，高考試題往往以數列題為壓軸題對學生的思維能力進行全面地考察.在數列問題中，不等關係的證明更是難點中的難點.數列中不等關係的證明方法常見的有：
放縮法、建構函式法、數學歸納法等.前兩個讓人感到技巧性太強，不好掌握.而後一種運算量龐大，難以實施到底.
本文介紹一種證明數列不等關係的有效方法：拆項法.不到之處，請批評指正.
題1：已知函式.
⑴當時，判斷函式的單調性並寫出其單調區間；
⑵若函式的圖象與直線至少有乙個交點，求實數的取值範圍
⑶證明：對任意的，都有成立．
分析：前兩個問題這裡不再說明.對於第三問，很多同學無從下手，其實我們看的很清楚，不等式的右邊是乙個數列求和的形式，其通項公式為.
因為它不是等差數列或等比數列，故不可利用等差數列或等比數列的求和公式直接求和。若採用其它的常規方法如裂項相消、錯位相減等，也難以操作.常見的方法就是將其放縮，轉化為可以求和的通項公式.
但這種方法學生往往難以掌握.那麼，有沒有更簡潔並且容易操作的方法呢？我們不妨逆向思考：
能否將不等式左邊的式子拆成個式子，只要這個式子種的每一項都比右邊的每一項大，即可證明出這個不等式.考慮到對數的性質，我們可以將乘積的形式化為和的形式，從而進行下面的拆項法.
，顯然它有項，且它的通項公式為，故只需證：對一切總成立，即要證：，即證：.建構函式，因為，單調增，，即，證畢.
總結：逆向思維，將簡單的式子拆成個式子相加，對比其通項公式來尋求證題的突破口，顯得簡潔而自然.
題2：已知函式.
⑴判斷函式的單調性；⑵比較與，與的大小關係，並由此歸納出乙個更一般的結論（不必說出理由）；⑶若，比較與，與的大小關係，由此歸納出乙個更一般的結論，並加以證明.
分析：前兩問難度不大，這裡看一下第（3）問.通過計算，不難獲得，且》,從而猜測：.
即要證：，代入得：，兩邊同乘以得：
，即證：，左邊提取得：.至此，解題似乎進入了死胡同.
仔細觀察不等式，不妨將左邊的除掉，從而右邊變為：，它是什麼形式呢？進一步變形為：.
現在我們看得很清楚，它是乙個首項為，公比為的等比數列的前項和.即為：.因此，即要證：.
左邊共有項，由排序不等式知：，…，兩邊相加即可獲證.
總結：本題是一道極難的數列不等關係的證明，常規方法難以入手.從不等式的特徵入手，巧妙地將拆成.從而將問題簡單化.
練習：已知各項均為正數的數列的前項和滿足，且
.⑴求數列的通項公式；⑵設數列滿足，記的前項和為，求證：.
提示：（1）由得：，兩式相減化簡得：，再由，令，解得，所以.⑵將代入得：，所以即要證：，又
=，只需證：即可.代入得：，即證：，顯然成立.
練習2：設正項數列的前n項和為，並且對於所有的正整數n，與1的等差中項等於與1的等比中項.
⑴求數列的通項公式；
⑵設數列的通項，記時數列的前n項和，試比較與的大小，並證明你的結論.
這幾個例題為我們提供了證明數列不等式的乙個巧妙的方法：拆項法，一般來說，涉及到對數形式、等差（比）數列的求和公式，我們均可以用這種方法進行嘗試，希望同學們用心體會.
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
導數證明數列不等式
已知函式 為常數 曲線在與軸的交點處的切線斜率為.求的值及函式的單調區間 證明 當時，證明 當時，由得.又，所以.所以，由得.所以函式在區間上單調遞減，在區間上單調遞增3 由 1 知.所以，即.令，則.所以在上單調遞增，所以當時，即.首先證明 當時，恒有.找到目標函式是第一步 證明如下 令，則.由 ...
數列通項公式與不等式的證明
學科教案此頁 為空白一 型別1 解法 把原遞推公式轉化為，利用累加法 逐差相加法 求解。例 已知數列滿足，求。變式 2004，全國i，個理22 本小題滿分14分 已知數列，且a2k a2k 1 1 k,a2k 1 a2k 3k,其中k 1,2,3,i 求a3,a5 ii 求的通項公式.二 解法 把原...