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為空白一．型別1
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知數列滿足，，求。
變式:（2004，全國i，個理22．本小題滿分14分）
已知數列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（i）求a3, a5；
（ii）求的通項公式.
二、解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知數列滿足，，求。
變式:（2004，全國i,理15．）已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
三、 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例:已知數列中，，，求.
高考遞推數列題型分類歸納解析
各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。
型別1解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以，變式:（2004，全國i，個理22．本小題滿分14分）
已知數列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（i）求a3, a5；
（ii）求的通項公式.
解： ， ，即，
…… ……
將以上k個式子相加，得
將代入，得，。
經檢驗也適合，
型別2解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 例:已知， ，求。
解： 。
變式:（2004，全國i,理15．）已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
型別3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項
（key:）
變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）
已知數列滿足
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列滿足證明：數列是等差數列；
（ⅲ）證明：
（i）解：
是以為首項，2為公比的等比數列
即（ii）證法一：
②－①，得
即③－④，得
即是等差數列
證法二：同證法一，得
令得設下面用數學歸納法證明
（1）當時，等式成立
（2）假設當時，那麼
這就是說，當時，等式也成立
根據（1）和（2），可知對任何都成立
是等差數列
（iii）證明：
變式:遞推式：。解法：只需構造數列，消去帶來的差異．
型別4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定係數法解決。
例:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以變式:（2006，全國i,理22,本小題滿分12分）
設數列的前項的和，
（ⅰ）求首項與通項；（ⅱ）設，，證明：
解：（i）當時， ；
當時，，即，利用（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）的方法，解之得：
(ⅱ)將代入①得 sn=×(4n－2n)－×2n+1 + =×(2n+1－1)(2n+1－2)
=×(2n+1－1)(2n－1)
tn= =×=×(－)
所以<型別5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法一(待定係數法)：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足
解法二(特徵根法)：對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
解法一（待定係數——迭加法）:
數列：，，求數列的通項公式。
由，得，
且。則數列是以為首項，為公比的等比數列，於是
。把代入，得，，
，。把以上各式相加，得。。
解法二（特徵根法）：數列：，的特徵方程是：。,。
又由，於是
故例:已知數列中，, ,，求。
解：由可轉化為
即或這裡不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用型別1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以。
變式:（2006，福建,文,22,本小題滿分14分）
已知數列滿足
（i）證明：數列是等比數列；
（ii）求數列的通項公式；
（iii）若數列滿足證明是等差數列
（i）證明：
是以為首項，2為公比的等比數列
（ii）解：由（i）得
（iii）證明：
①②②－①，得
即 ③
④④－③，得
即是等差數列
型別6 遞推公式為與的關係式。(或)
解法：這種型別一般利用與消去或與消去進行求解。
例：已知數列前n項和.
（1）求與的關係；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
於是所以.
（2）應用型別4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.於是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
變式:（2006，陝西,理,20本小題滿分12分)
已知正項數列，其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列的通項an
解: ∵10sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數列∴a1≠3;
當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
變式: (2005,江西,文,22．本小題滿分14分）
已知數列的前n項和sn滿足sn－sn－2=3求數列的通項公式.
解： ，
，兩邊同乘以，可得
令…… ……
又，，，
。型別7
解法：這種型別一般利用待定係數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。
例:設數列：，求.
解：設，將代入遞推式，得
…（１）則,又，故代入（１）得
說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.
變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）
已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…
(ⅰ)令
(ⅱ)求數列
(ⅲ)設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出若不存在,則說明理由
解：（）由已知得
又是以為首項，以為公比的等比數列
（）由（）知，
將以上各式相加得：
（）解法一：
存在，使數列是等差數列
數列是等差數列的充要條件是、是常數即又
當且僅當，即時，數列為等差數列
解法二：
存在，使數列是等差數列
由（）、（）知，
又當且僅當時，數列是等差數列
型別8解法：這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解。
例：已知數列｛｝中， ，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定係數法解得：。
變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）
已知數列
（1）證明
（2）求數列的通項公式an.
解：用數學歸納法並結合函式的單調性證明：
（1）方法一用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則而又∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈n時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即也即當n=k+1時成立，所以對一切
（2）解法一：
所以,又bn=－1，所以
解法二：
由（i）知，，兩邊取以2為底的對數，
令,則或
變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）
已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求tn及數列｛an｝的通項；
記bn=，求｛bn｝數列的前項和sn，並證明sn+=1
解：（ⅰ）由已知，
，兩邊取對數得，即
是公比為2的等比數列
（ⅱ）由（ⅰ）知
由（*）式得
（ⅲ），，
，又，，又，型別9解法：這種型別一般是等式兩邊取倒數後換元轉化為。
例：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
通項放縮 數列求和 數列不等式
數列不等式是近幾年高考試題中的熱點，以數列和形式出現的不等式證明不僅考查靈活選用求和方法的能力，也考查了證明中放縮的技巧。建構主義認為 學習是每個學生依據自身已有的知識和經驗主動建構的過程。利用遞推公式求通項，利用對通項分析來求數列和。這是學生已掌握的方法，對通項進行合理放縮，轉化為可求和的形式來證...
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...