數列不等式是近幾年高考試題中的熱點，以數列和形式出現的不等式證明不僅考查靈活選用求和方法的能力，也考查了證明中放縮的技巧。建構主義認為：學習是每個學生依據自身已有的知識和經驗主動建構的過程。
利用遞推公式求通項，利用對通項分析來求數列和。這是學生已掌握的方法，對通項進行合理放縮，轉化為可求和的形式來證明數列不等式。
1．放縮通項，利用等差（等比）數列公式求和
例1（04年全國卷三）已知數列的前n項和sn滿足sn=2an+(－1)n (n≥1)
(1)寫出數列的前3項a1，a2，a3；(2)求數列的通項公式；
(3)證明，對任意的整數m>4，有
解：(1)a1=1；a2=0；a3=2 (2)an=
(3)由通項公式得a4=2
當n≥3且n為奇數時， =<
=當m>4，若m為偶數時，
<=+×(1－)<+=
當m<4，若m為奇數時，
<所以對任意整數m>4，有
評注：通項an**現(－1)n－1，需分n為奇數和偶數兩種情況討論，利用連續兩項和進行縮放，解決了(－1)n－1的符號，更主要是放大成乙個等比數列的求和問題．
例2(05年武漢市高三二月調考卷)已知數列滿足an+1= (n∈n+)，a1=1
(1)在a=1時，求通項公式an； (2)a在什麼範圍內an+1≥an恆成立；
(3)在－3≤a<1時，證明≥1－．
解：(1)a=1時，an+1=2an+1，an=2n－1
(2)用數學歸納法可證明a≥－3時，an+1≥an恆成立．
(3)若a=－3，則a2=1，an=1
若－30，a－1<0
∴an+1==2an+1+<2an+1
∴an+1<2(an-1+1)<22(an－2+1)<…<2n－1(a1+1)=2n
綜合得，－3≤a<1時，0∴≥
評注：數列中遞推關係an+1=qan+r是近年高考常考常新的話題[3]，求其通項可變型考慮數列是以a1+x為首項，q為什麼比的等比數列，其中x= (q≠1)．如果出現an+1≤qan+r則可放縮成an+x≤q(an－1+x) ≤…≤qn－1(a1+x)
可見，把等與不等辯證看待，等是不等的極端形式，將不等視為等，問題轉化為求通項的形式，類似是還有02年全國考題，此處略.
2. 放縮通項，利用裂項相消求和
例3（北京西城區2005屆高三年級抽樣測試）x軸上有一列點p1，p2，p3，…pn…，已知當n≥2時，點pn是把線段pn－1pn+1作n等分的分點中最靠近pn+1的點，設p1p2，p2p3，…pnpn+1的長度分別為a1, a2, a3, …, an，其中a1=1
⑴寫出a2, a3和an（n≥2，n∈n+）的表示式
⑵證明a1+a2+…an<3（n∈n+）
解：⑴an= （n≥2，n∈n+）
⑵an= (n≥3)
∴a1+a2+…an≤1+1+(13－<3
而n=1時，a1=1<3成立；n=2時，a1+a2=2<3也成立
∴a1+a2+…an<3
例4（2023年江蘇卷）設a>0，如圖已知直線l：y=ax及曲線c：y=x2，c上的點q1的橫座標為a1(0⑴求an+1與an的關係，並求的通項公式
⑵當a=1，a1≤時，證明(ak－ak+1) ak+2≤
⑶當a=1時，證明(ak－ak+1) ak+2<
解：⑴由an+1=an2，易求出an=a
⑵當a=1時，an=，而0當k≥1時，ak+2≤a3≤；(ak－ak+1)ak+2≤(ak－ak+1)
∴(ak－ak+1)ak+2≤ (ak－ak+1)= [(a1－a2)+(a2－a3)+…+(ak－ak+1)]
= (a1－ak+1)< a1≤
⑶當a=1時，an=，且an+2=，而03(an－an+1)an+2=(an－an+1)(3)=(an－an+1)( + +)
< (an－an+1) (+an·+)=－
故3 (ak－ak+1)ak+2= [3(ak－ak+1)ak+2]< (－)
=(a13－a23)+(a23－a33)+…+(－)=－<<1
∴(ak－ak+1) ak+2<
評注：一般的，對於an=求數列前n項和，可變形an=(b－a)()再裂項相消求和．於是通常可考慮分式放縮，根式放縮．如：；2()等，其目標是放縮成某個數列連續兩項的差．
3. 放縮通項，利用分項求和
例5 (05年重慶卷)數列滿足a1=1且an+1=(1+)an+ (n≥1)
(1)用數學歸納法證明an≥2 (n≥2)
(2)已知不等式ln(1+x)0成立，證明：an證明：(1)略；(2)由遞推公式及(1)的結論有：
an+1=(1+) an+≤(1+) an+·an=(1++)an
兩邊取對數，且由ln(1+x)lnan+1≤ln[1+(+)]+lnan<(+)+lnan
故lnan－lnan－1≤=()+
上式從n取1，2，…n－1求和可得：
lnan－lna1≤[(1
=(1－)+(1－)<2，其中a1=1
即lnan<2，an評注：分項求和實際上就是對數列通項的結構進行分解，轉化為可求和的幾個數列形式．如通項an=(kn+b)+aqn++(cn+d)en+fn2+gn3中a，b，c，d．e、f、g、q均為常數，則可分解轉化為：等差數列求和(kn+b)；等比數列求和(aqn)；裂項相消求和()；錯位相減求和((cn+d)en)；及常見公式12+22+…+n2=；13+23+…+n3=n2(n+1)2等．
例6 若an= (tn+)，其中t∈[，2]tn是數列前n項和．
求證：tn<2n－()n．
證明：令f(t)= (tn+)，令f′(t)= (tn－1－)=0，則t=1，而t∈[，2]
當≤t<1時，f′(t)<0，f(t)遞減；當10，f(t)遞增．
∴fmax(t)=f()=f(2)= (2n+) 即an≤(2n+)
tn≤[(2+22+…+2n
=2n－(1+)<2n－·2=2－()n
評注：an= (tn+)**現兩個變數t和n．因此先視為t的函式，利用單調性求f(t)的最大值，也就放縮成可求和的數列(2n+)，再分項求和．
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
證明數列不等式之放縮技巧
證明數列型不等式，其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰性。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮.一 利用數列的單調性 例1 證明 當時，證法一 令，則,所以當時，因此當時，於是當時，證法二 可用數學歸納法證.1...
證明數列不等式之放縮技巧
證明數列型不等式，其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰性。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮.一 利用數列的單調性 例1 證明 當時，證法一 令，則,所以當時，因此當時，於是當時，證法二 可用數學歸納法證.1...