答案：1．設，求證：
解：此數列的通項為，，即
2．已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯賽山東預賽題）
解：3 、求證.
解： =，故原結論成立.
4、求證
解法1、利用假分數的乙個性質可得 即
法2、在中令，得
5、已知函式
求證：對任意且恆成立。（90年全國卷壓軸題）
解：方法1、數學歸納法證明；
方法2、柯西不等式：
又 (時取等號)
（），6 、已知，（1）用數學歸納法證明；（2）對對都成立，證明（無理數）（05年遼寧卷第22題）
解（2）方法1：因為，所以，於是
即方法2：用結論來放縮：，即
7、已知不等式表示不超過的最大整數。
設正數數列滿足：
求證：（05年湖北卷第（22）題）
解：當時，即，
，當時有。
8、設，求證：數列滿足
解：利用二項展開式進行部分放縮：；
又，所以9、 設求證：
解： ，又（），
10、設數列滿足，當時證明對所有有（1）；
（2）（02年全國高考題）
解：（1）用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時結論成立，即，
則當時，，
故對所有都有。
（2）利用來放縮通項，
， 。
11 、設，求證.
解：注意到，
，12 、設數列滿足（1）證明對一切正整數成立；（2）令，判定與的大小，並說明理由（04年重慶卷理科）。
解：法1、用數學歸納法：；
法2、則
13、已知函式的最大值不大於，又當時（1）求的值；（2）
設，證明：（04年遼寧卷第21題）
解：（1）；
（2）由得且，用數學歸納法：在是增函式
。14、數列由下列條件確定：， ．（1）證明：對總有；(2)證明：對總有（02年北京卷第（19）題）
解：用數學歸納法：先建構函式易知在是增函式，
當時，在遞增，故
對(2)有，建構函式它在上是增函式，故有，得證。
15、求證：
解：令，這裡則有
，從而有
16、設，，求證.
解：令，則，，
，因此。
17、設，定義，求證：對一切正整數有
解、用數學歸納法推時的結論，，
故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數有
18、已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝，（1）求數列｛an｝的通項公式；（2）證明：對一切正整數n有a1a2……an2n！（06年江西卷理科第22題）
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為乙個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）。
（2）證：有（1）得，所以a1a2…an＝，
為證a1a2……an2n！ 。
用數學歸納法證明：nn，有1－（）。
＝1－＝1－。
19、中, ,且成等差數列,成等比數列.,
（1）求及,由此猜測的通項公式,並證明你的結論;
（2）證明:.
解：（1）數學歸納法：；
（2）當時，．當n≥2時，由（2）知，故，
綜上，原不等式成立．
20、設數列滿足，其中為實數，
（1）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（2）設，證明：;
解：（1）數學歸納法證明；
（2）設，當時，，結論成立；
當時，，
,由（1）知，所以且，
，，21、已知數列，，，，記，．
求證：當時，（1）；（2）；（3）。
解：（1）當時，，即證，用數學歸納法證明；
（2）由累加及；
（3）證明：由，得，
所以，於是，
故當時，，又因為，所以．
（3）另解：及
，要證,只要證，即而所以問題得證
22、數列為非負實數列，且滿足：，，
求證：證明：若有某個，則，則從起，數列單調遞增，會隨n的增大而趨向於無窮，與矛盾，所以是單調遞減的數列，即，令。
由，即，所以，故。
數列型不等式放縮技巧無敵
證明數列型不等式，因其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮 其放縮技巧主要有...
證明數列不等式之放縮技巧
證明數列型不等式，其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰性。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮.一 利用數列的單調性 例1 證明 當時，證法一 令，則,所以當時，因此當時，於是當時，證法二 可用數學歸納法證.1...
證明數列不等式之放縮技巧
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