縱觀近幾年高考數學卷，壓軸題很多是數列型不等式，其中通常需要證明數列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數列的各種方法，而且還可以綜合考查其它多種數學思想方法，充分體現了能力立意的高考命題原則。處理數列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質是基於最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，其優點是能迅速地化繁為簡，化難為易，達到事半功倍的效果；其難點是變形靈活，技巧性強，放縮尺度很難把握。
對大部分學生來說，在面對這類考題時，往往無從下筆．本文以數列型不等式壓軸題的證明為例，**放縮法在其中的應用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的娃帶來一盞明燈。
一、常用的放縮法在數列型不等式證明中的應用
1、裂項放縮法：放縮法與裂項求和的結合，用放縮法構造裂項求和，用於解決和式問題。裂項放縮法主要有兩種型別：
（1）先放縮通項，然後將其裂成某個數列的相鄰兩項的差，在求和時消去中間的項。
例1設數列的前項的和，。設，，證明：。
證明：易得，
=點評： 此題的關鍵是將裂項成，然後再求和，即可達到目標。
（2）先放縮通項，然後將其裂成項之和，然後再結合其餘條件進行二次放縮。
例2 已知數列和滿足，，數列的前和為，； （i）求證：； （ii）求證：當時， 。
證明：（i）
∴．（ii）
由（i）可知遞增，從而，又，
即當時， 。
點評：此題（ii）充分利用（i）的結論，遞增，將裂成的和，從而找到了解題的突破口。
2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的結合，用放縮法構造迭乘形式，相乘時消去中間項。用於解決積式問題。
例3 已知數列的首項為點在直線上。
若證明對任意的，不等式恆成立．
證明：，
所以即。
點評：此題是證明積式大於根式，由於左邊沒有根式，右邊是三次根式，立方後比較更容易處理。可以看成是三個假分式的乘積，保持其中一項不變，另兩項假分數分子分母同時加1，加2，則積變小，，而通項式為的數列在迭乘時剛好相消，從而達到目標。
3、迭代放縮法：通過放縮法構造遞推不等關係，進行迭代，從而求解。
例4 已知數列滿足，，證明：。
證明：當時，，結論成立。
當時，易知
點評：此題將目標式進行放縮得到遞推不等關係，進行迭代，找到解題途徑。
4、等比公式放縮法：先放縮構造成等比數列，再求和，最後二次放縮實現目標轉化。
例5已知數列的各項均為正數，且滿足記，數列的前項和為，且．
（i）數列和的通項公式；
（ii）求證：．
略解：（i），，。
證明：（ii）．
∴．反思：右邊是，感覺是個的和，而中間剛好是項，所以利用；左邊是不能用同樣的方式來實現，想到，試著考慮將縮小成是等比數列），從而找到了此題的突破口。
5、二項式定理放縮法：在證明與指數有關的數列型不等式時，用二項式定理放縮特別有效。二項式定理放縮法有兩種常見型別：
（1）部分二項式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項式定理放縮。
例6已知數列滿足，（）．
（ⅰ）證明數列是等比數列，並求出通項；
（ⅱ）如果時，設數列的前項和為，試求出，並證明當時，有．21
略解：（）， 則
，當時，，則．
，則．因此， ．
反思：為什麼會想到將放縮成？聯想到，因為要證明，而是乙個數列前項的和，最後通過放縮很可能變成的形式，而應是由放縮後裂項而成，， ，此時剛好得到，接下來就要處理，想到用二項式定理。
（2）完全二項式定理放縮法：整個式子的證明主要借助於二項式定理。
例7設數列的前項和為，且對任意的，都有.
(i)求的值；（ii）求數列的通項公式；（iii）證明：。
略解：（i）（ii），；
證明（iii）
，令，則有，從而，即。
點評：利用二項式定理結合放縮法證明不等式時，一定要緊密結合二項式展開式的特點，聯絡需證不等式的結構，通過化簡、變形、換元等手段使問題得以解決。
6、比較放縮法：比較法與放縮法的結合，先進行比較（作差或作商），再進行放縮。
例8在單調遞增數列中，，，且成等差數列，成等比數列，．
（i）分別計算，和，的值；
（ii）求數列的通項公式（將用表示）；
（iii）設數列的前項和為，證明：，．
略解：（i）（ii）得，，，．
證明：（iii）由（ii），得．顯然，；
當為偶數時，
當為奇數（）時，
.綜上所述，，即，．
點評： 此題在作差比較中實施裂項放縮，進而得到最後結果小於0，從而得證。
7、單調函式放縮法：根據題目特徵，構造特殊的單調函式，再進行放縮求解。
例9設函式，其中．證明對任意的正整數，不等式都成立．
分析：欲證上述結論，直接作差比較，無從下手；接著想到令，判斷函式的單調性，由於定義域為正整數，不能用導數，只能計算，其結果還是很難處理；聯想到數列是一種特殊的函式，將命題加強，令，判斷函式的單調性，如果在單調，則函式也單調。
解：令函式，則．
當時，，所以函式在上單調遞增，
時，恒有，即恆成立．
故當時，有．對任意正整數取，則有．
二、放縮法的注意問題以及解題策略
1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結論，是小於某項，則放大，是大於某個項，則縮小。
2、放縮的項數：有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。
3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：
（1）根式的放縮：；
（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；
真分數分子分母同時減乙個正數，則變大；，；
假分數分子分母同時減乙個正數，則變小，如；
（3）應用基本不等式放縮：；
（4）二項式定理放縮：如；
（5）捨掉（或加進）一些項，如：。
4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過當，是應用放縮法證明中最關鍵、最難把握的問題。這需要勤於觀察和思考，抓住欲證命題的特點，只有這樣，才能使問題迎刃而解。
再看例2，若建構函式，
則前後不等號不一致，不能確定的單調性，此時放縮過當，此題不適宜用單調函式放縮法。若要證明，則
，所以，從而遞增，，所以成立，此時用單調函式放縮法可行。同樣的題幹，稍有調整，我們所用的方法便有不同。
5、放縮法的策略以及精度的控制
例10已知數列的前項和為，且滿足。
（i）數列是否為等差數列？並證明你的結論； （ii）求和；
（iii）求證：。
簡解：（1）（2）；
（3）證法一：當時，成立；當，
= 綜上所述，。
證法二：
。點評：兩種證法的不同在於策略的選擇不同。
方法一是將放大成，需從第二項起，要分類討論；而方法二是將放大成。明顯比大很多，比更接近。從中可以發現放縮後的式子越接近放縮前的式子，即放縮程度越小，精確程度越高，保留的項就越少，運算就越簡單。
因此，在放縮時，要盡量縮小放縮度，提高放縮精度，避免運算上的麻煩。
本文選取的例題都是高考或模擬考中的壓軸題，有一定難度，從中我們可以發現放縮法是證明數列型不等式的壓軸題的最重要的方法。對於某個題目可能用到單一的放縮法，也可能用到複合型的放縮法，在平時或考試中遇到數列型不等式的證明問題，我們不能望題興嘆，也不能輕言放棄，更不能盲目瞎撞。多想幾個為什麼：
用放縮法能否解決，是哪種型別的放縮法，要注意什麼問題等等。只有正確把握了放縮法的方法思路和規律特徵，我們在證明數列型不等式的壓軸題時，就會豁然開朗，快速找到突破口，成為解決此類題的高手。
利用放縮法證明數列型不等式壓軸題
縱觀近幾年高考數學卷，壓軸題很多是數列型不等式，其中通常需要證明數列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數列的各種方法，而且還可以綜合考查其它多種數學思想方法，充分體現了能力立意的高考命題原則。處理數列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質是基於最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，其優點是能...
利用放縮法證明數列型不等式壓軸題
相關結論 放縮法常用的方法有幾種？1 2 例1設函式，其中 證明對任意的正整數，不等式都成立 例2.求證 例3.求證 例4.求證 例5.求證 和.例6.求證 例7.證明 例8.已知證明.例9.已知函式是在上處處可導的函式,若在上恆成立.求證 函式上是增函式 當 已知不等式時恆成立，求證 相關結論 思...
第4講利用放縮法證明數列型不等式壓軸題
考嚮導析 考向一裂項放縮法 放縮法與裂項求和的結合，用放縮法構造裂項求和，用於解決和式問題。裂項放縮法主要有兩種型別 1 先放縮通項，然後將其裂成某個數列的相鄰兩項的差，在求和時消去中間的項。例1.1 已知數列的前項和為，且滿足。i 數列是否為等差數列？並證明你的結論 ii 求和 iii 求證 2 ...