幾何不等式的證明是初中數學乙個難點，所用知識不外乎有：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；同一三角形中，大角對打邊，大邊對大角以及三角形內角和定理等知識，下面就其證明思路進行分析。
一.中線加倍法
例1.如圖，ad是△abc中bc邊上的中線，求證：ad<
證明：延長ad至e，使de=da，連線ce
∵da=de,dc=db,∠1=∠2，∴△abd≌△ecd，∴ab=ec
在△ace中ae評注：注意到結論可變形為2ad二.三角形中位線搭橋
例2.在四邊形abcd中，e、f分別為ad、bc的中點，求證：ef<
證明：取ab中點g，連線ge、gf
∵e、g分別是ad、ab的中點，∴ge是△abd的中位線，即
ge=bd，同理gf=ac。在△gef中，ef∴ef評注：觀察結論右邊可變形為ac+bd，已知又有某些邊的中點，根據諺語「遇到中點找中點」，進而構造三角形的中位線即可達到目的。
三.運用直角三角形斜邊上的中線性質
例3.在梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd於o，求證ab+cd>ad+bc
證明：分別取ab、cd的中點e、f，連線oe、of、ef
∵ac⊥bd，點e、f分別是ab、cd的中點∴oe、of分別是rt△abo、rt△cdo
斜邊上的中線，即oe=ab,of=cd,
又ef是梯形abcd的中位線，可得ef=
在△oef中，oe+of>ef，即ab+cd>
∴ab+cd>ad+bc
評注：由結論的右邊ad+bc可聯想到梯形的中位線，確定取ab、cd的中點e、f,再由ac⊥bd可得一些直角三角形，根據「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」這個性質，便迎刃而解了。
四.平移法
例4.如圖，在△abc中，e、f分別是ab、ac邊上的點，be=cf，求證：ef證明：平移eb至fd，連線bd，過f作fg平分∠dfc交bc於g,連線dg。
由平移的性質得ef=bd，be=df
∵be=cf，∴df=cf,又∠1=∠2，fg=fg，∴△dfg≌cfg，
∴dg=cg
在△dbg中，bd∴ef評注：本題是利用平移將兩條相等線段be、cf集中到
一起，再通過平移的性質和三角形全等構造出△dbg，最後
運用三角形邊的性質獲得解決。
五.翻摺法
例5.在△abc中，ab>ac,ad⊥bc於d,p為ad上任意一點，求證：pb-pc>ab-ac
證明：將△adc翻摺180至△adf，連線pf，因ad⊥bc，由軸對稱的性質得
af=ac,pf=pc,在△abe中，ae+be>ab
在△efp中，ep+ef>pf
+②得：ae+be+ep+ef>ab+pf，即af+pb>ab+pf，
∴ac+pb>ab+pc
因此pb-pc>ab-ac
評注：通過翻摺變換把ac、pc轉化到af和pf，
然後將ab、bp分別放到如圖中兩個陰影三角形中，
再運用三角形邊的性質變形而證明結論
六.旋轉法
例6.在△abc中，ab=ac，p是三角形內一點，且∠apb>∠apc,求證：pc>pb
證明：以a為中心，把△apb逆時針旋轉∠bac的角度，變成△apc，
連線pp,由旋轉地性質可得△apb≌△apc
∴∠apb=∠apc，pb=pc,ap=ap，∴∠1=∠2
∵∠apb>∠apc，即∠2+∠4>∠1+∠3，∴∠4>∠3
∴在△cpp中可得pc>pc，∴pc>pb
評注：旋轉△apb到△apc，利用旋轉的性質和等腰三角形性質構造出△cpp，再根據「大角對打邊」證明本題，其思路清晰明了。
七.截補法
例7.在△abc中，ab>ac,d是∠bac的角平分線上任意一點，
求證ab-ac>db-dc
證明：在ab上擷取ae=ac，連線de
∵ad平分∠bac，∴∠1=∠2，又ae=ac,ad=ad，∴△aed≌△acd，
∴de=dc
在△bde中be>bd-de,而be=ab-ae=ab-ac
∴ab-ac>db-dc
評注：觀察結論左邊ab-ac，且有∠1=∠2，便可採用截長補短
得到這個差be，再根據全等三角形的性質進行轉化，從而構造出△bde，
運用三角形邊的性質得證。
八.面積法
例8.如圖，g為△abc的重心，ef過點g且與ab、ac分別交於e、f,求證：eg≤2gf
證明：連線ag,再連線bg並延長交ac於d。
∵g是重心，∴bg=2gd
∴==≤==2
∴eg≤2gf
評注：注意bg=2gd是三角形重心的性質。本題在
運用面積法解題時，用到了同高不同底的三角形面積比
的性質和分子增大分母縮小的放縮法，最後運用三角形
重心的性質順利獲得解決。
九.利用平行線
例9.已知:p是邊長為1的正三角形abc內任意一點，設m=pa+pb+pc，求證： 證明：在△abp中pa+pb>ab=1,同理pb+pc>1,pc+pa>1
∴2(pa+pb+pc)>3,即m> ①
過p作de∥bc分別交ab、ac於d、e,則△ade也是正三角形，
∴ad=de=ae，又∠1>∠2，∠2=∠3，得∠1>∠3，故ad>pa
在△pbd、△pce中，bd+pd>pb, pe+ce>pc
∴bd+pd+pe+ce>pb+pc,繼而ad+bd+pd+pe+ce>pa+pb+pc
∴ab+ac>m,亦即m<2
由①、②得： 評注：本題較難，特別是第二步需要作平行線，將原正三角形分割出小正三角形，再運用有關性質轉化，望認真體會。
十.反證法
例10.如圖，在凸四邊形abcd中，已知ab+bd≤ac+cd,求證：ab證明：假設ab≥ac，則∠1≥∠abc
由此可知∠bcd>∠1≥∠abc>∠dbc，即∠bcd>∠dbc
∴bd>cd，∴ab+bd>ac+cd
這與已知條件「ab+bd≤ac+cd」相矛盾
∴ab評注：當直接證明較困難時，可以考慮運用反證法，這也是解題中的化歸策略之一。
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