證明數列不等式之放縮技巧

證明數列型不等式，其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰性。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮.

一、利用數列的單調性

例1．證明：當時，.

證法一：令，則,

所以當時，.因此當時，

於是當時，

證法二：可用數學歸納法證.(1)當n = 6時，成立.

(2)假設當時不等式成立，即

則當n=k+1時，

由(1)、(2)所述，當n≥6時，.

二、借助數列遞推關係

例2.已知.證明：.

證明：，

∴.例3. 已知函式f(x)=，設正項數列滿足=l，．

(1) 試比較與的大小，並說明理由；

(2) 設數列滿足=－，記sn=．證明：當n≥2時,sn＜(2n－1)．

分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1) 因為所以

,因為所以與同號，因為， …，即

（2）當時， ，

所以，所以.

例4. 已知不等式其中為不大於2的整數，表示不超過的最大整數。設數列的各項為正且滿足.證明：，.

證明：由得：,

, ,… , ,

以上各式兩邊分別相加得：，

=， .

3、裂項放縮

例5.求證:

解析:因為,所以

又 當時, ,當時, ,

當時, ,所以綜上有.

例6.已知, ,，求證：

．證明：由於

． 例7. 已知，數列的首項.

(1) 求證：；(2) 求證：時.

證明：⑴，∵，∴都大於0，∴，∴.

（2），∴.故

∵, ,又

四、分類放縮

例8.求證: .

證明:當時不等式顯然成立.

.例9. 已知.證明：對任意整數，有.

分析：不等式左邊很複雜，要設法對左邊的項進行適當放縮，使之能夠求和。

而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由於-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合併起來一起進行放縮，嘗試知：，，因此，可將保留，再將後面的項兩兩組合後放縮，即可求和。這裡需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，

（2）當是奇數時，為偶數，

.所以對任意整數，有。

五、利用函式單調性（導數）放縮

例10. 已知函式,數列滿足,; 數列

滿足,.求證:

（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）若則當n≥2時,.

分析：第（1）問用數學歸納法證明；第（2）問利用函式的單調性；第（3）問進行放縮。

證明：(ⅰ)先用數學歸納法證明,.

（1）當n=1時,由已知得結論成立；

（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,

因為0又f(x)在上連續,所以f(0)故當n=k+1時,結論也成立. 即對於一切正整數都成立.

又由, 得,從而.

綜上可知

(ⅱ)建構函式g(x)= -f(x)=, 0由,知g(x)在(0,1)上增函式. 又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.

因為,所以,即》0,從而

(ⅲ) 因為,所以, ,

所以由(ⅱ)知:, 所以= ,

因為, n≥2,

所以<<=————

由兩式可知:.

例11.求證：.

證明:先建構函式有,從而

因為所以

證明數列不等式之放縮技巧

證明數列型不等式，其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰性。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮.一 利用數列的單調性 例1 證明 當時，證法一 令，則,所以當時，因此當時，於是當時，證法二 可用數學歸納法證.1...

放縮法證明數列不等式

1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...

數列型不等式放縮技巧無敵

證明數列型不等式，因其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮 其放縮技巧主要有...